HĐ4 trang 51 Toán 10 Tập 2 - Kết nối tri thức

Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục Oxy có gốc O là trung điểm của FF, tia Ox trùng tia OF (H.7.26). Nêu tọa độ của các tiêu điểm F, F. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi

Giải Toán lớp 10 Bài 22: Ba đường conic

HĐ4 trang 51 Toán 10 Tập 2: Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂, tia Ox trùng tia OF₂ (H.7.26). Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi

$\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$. (3)

Lời giải:

+) Vì F₁F₂ = 2c, mà O là trung điểm của F₁F₂. 

Do đó ta có: F₁O = F₂O = 2c : 2 = c. 

Quan sát hình ta thấy, điểm F₁ thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F₁O nên tọa độ F₁(– c; 0). 

Điểm F₂ thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F₂O nên tọa độ F₂(c; 0). 

Vậy tọa độ các tiêu điểm: F₁(– c; 0) và F₂(c; 0).

+) Giả sử M(x; y) thuộc hypebol (H) ta cần chứng minh: 

$\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$.

Thật vậy, M thuộc hypebol (H) nên: |MF₁ – MF₂|= 2a.

Lại có: MF₁ = $\sqrt{{\left(x-\left(-c\right)\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}$; 

MF₂ = $\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}$.

⇒ |MF₁ – MF₂| = $\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$.

Vậy $\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$.

+) Giả sử $\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$, ta cần chứng minh M thuộc hypebol (H). 

Thật vậy: $\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$ nên: |MF₁ – MF₂|= 2a.

Vậy M thuộc hypebol (H).

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:

• HĐ1 trang 48 Toán 10 Tập 2: Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định F₁, F₂ trên một mặt bàn ....

• Câu hỏi trang 49 Toán 10 Tập 2: Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c? ....

• Luyện tập 1 trang 49 Toán 10 Tập 2: Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20) ....

• HĐ2 trang 49 Toán 10 Tập 2: Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂, tia Ox trùng tia OF2 (H.7.21) ....

• Luyện tập 4 trang 50 Toán 10 Tập 2: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip ....

• Vận dụng 1 trang 50 Toán 10 Tập 2: Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình ....

• HĐ3 trang 50 Toán 10 Tập 2: Giả sử thiết bị tại F₂ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F₁là 2 giây và vận tốc âm thanh là 343 m/s ....

• Câu hỏi trang 50 Toán 10 Tập 2: Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện a < c? ....

• Luyện tập 3 trang 51 Toán 10 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD (H.7.25) ....

• Luyện tập 4 trang 52 Toán 10 Tập 2: Cho hypebol (H): $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H) ....

• HĐ5 trang 52 Toán 10 Tập 2: Cho parabol (P) $y = \frac{1}{4}{x}^2$ Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0 ....

• HĐ6 trang 52 Toán 10 Tập 2: Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ ....

• Vận dụng 2 trang 53 Toán 10 Tập 2: Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo (H.7.28) ....

• Vận dụng 3 trang 56 Toán 10 Tập 2: Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc ....

• Bài 7.19 trang 56 Toán 10 Tập 2: Cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip ....

• Bài 7.20 trang 56 Toán 10 Tập 2: Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{9}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol ....

• Bài 7.21 trang 56 Toán 10 Tập 2: Cho parabol có phương trình: y² = 8x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol ....

• Bài 7.22 trang 56 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F₂(3; 0). ....

• Bài 7.23 trang 56 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4) ....

• Bài 7.24 trang 56 Toán 10 Tập 2: Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm ....

• Bài 7.25 trang 56 Toán 10 Tập 2: Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là A, điểm cuối là B ....