Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Lấy G, G, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy G₁, G₂, G₃ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh rằng (G₁G₂G₃) // (BCD).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (G₁G₂G₃) với mặt phẳng (ABD).

Lời giải:

Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB.

Trong mp(ABC), xét $∆$ ABC có G₁ là trọng tâm của tam giác nên $\frac{A G_{1}}{A M} = \frac{2}{3}$ ;

Trong mp(ACD), xét $∆$ ACD có G₂ là trọng tâm của tam giác nên $\frac{A G_{2}}{A N} = \frac{2}{3}$ ;

Trong mp(ABD), xét $∆$ ABD có G₃ là trọng tâm của tam giác nên $\frac{A G_{3}}{A P} = \frac{2}{3}$ .

Trong mp(AMP), xét $∆$ AMP có $\frac{A G_{1}}{A M} = \frac{A G_{3}}{A P} = \frac{2}{3}$ nên G₁G₃ // MP (theo định lí Thalès đảo).

Mà MP ⊂ (BCD) nên G₁G₃ // (BCD).

Chứng minh tương tự ta cũng có $\frac{A G_{2}}{A N} = \frac{A G_{3}}{A P} = \frac{2}{3}$ nên G₂G₃ // NP (theo định lí Thalès đảo).

Mà NP ⊂ (BCD) nên G₂G₃ // (BCD).

Ta có: G₁G₃ // (BCD);

G₂G₃ // (BCD);

G₁G₃, G₂G₃ cắt nhau tại G₃ và cùng nằm trong mp(G₁G₂G₃).

Do đó (G₁G₂G₃) // (BCD).

Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên (ABD) ∩ (BCD) = BD.

Giả sử (ABD) ∩ (G₁G₂G₃) = d.

Ta có: (G₁G₂G₃) // (BCD);

(ABD) ∩ (BCD) = BD;

(ABD) ∩ (G₁G₂G₃) = d.

Suy ra d // BD.

Mà G₃ ∈ (ABD) và G₃ ∈ (G₁G₂G₃) nên G₃ là giao điểm của (G₁G₂G₃) và (ABD).

Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng (G₁G₂G₃) và (ABD) đi qua điểm G₃ và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K.

Vậy (G₁G₂G₃) ∩ (ABD) = IK.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác: