Bài 7 trang 80 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

---

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác ABC có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác ABC có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, ..., Tam giác ABC có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, ... Gọi p, p, ..., p, ... và S, S, ..., S, ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác ABC, ABC, ..., ABC, ...

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 3 - Cánh diều

Bài 7 trang 80 Toán 11 Tập 1: Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₂B₂C₂, ..., Tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, ... Gọi p₁, p₂, ..., p_n, ... và S₁, S₂, ..., S_n, ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác A₁B₁C₁, A₂B₂C₂, ..., A_nB_nC_n, ...

a) Tìm giới hạn của dãy số (p_n) và (S_n).

b) Tính các tổng p₁ + p₂ + ... + p_n + ... và S₁ + S₂ + ... + S_n + ... .

Lời giải:

a)

+) (p_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Ta có: p₁ = p_∆ABC = a + a + a = 3a;

p₂ = $p_{\Delta A_1{B}_1{C}_1}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}=\frac{1}{2}.\left(3a\right)=\frac{1}{2}.p_1$;

p₃ = $p_{\Delta A_2{B}_2{C}_2}=\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+\frac{a}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2.\left(3a\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2.p_1$; ...; $p_{\Delta A_n{B}_n{C}_n}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}.p_1$; ...

Suy ra:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}.\left(3a\right)\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}.\underset{n\to \infty }{\lim }\left(3a\right)=0.3a=0$.

+) (S_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Gọi h là chiều cao của tam giác ABC và h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ta có: S₁ = S_∆ABC = $\frac{1}{2}$ah; S₂ = $S_{\Delta A_1{B}_1{C}_1}=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{h}{2}=\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{2}ah\right)=\frac{1}{4}.S_1$;

S₃ = $S_{\Delta A_2{B}_2{C}_2}=\frac{1}{2}.\frac{a}{4}.\frac{h}{4}={\left(\frac{1}{4}\right)}^2.\left(\frac{1}{2}ah\right)={\left(\frac{1}{4}\right)}^2.S_1$; ...; $S_{\Delta A_n{B}_n{C}_n}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}.S_1$; ...

Suy ra $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}.S_1\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}.\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{2}ah\right)=0.\frac{1}{2}ah=0$.

b) +) Ta có (p_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p₁ = 3a và công bội q = $\frac{1}{2}$thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

$P_n=p_1+p_2+\mathrm{...}+p_n+\mathrm{...}=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=6a$.

+) Ta cũng có (S_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu S₁ = $\frac{1}{2}$ah và công bội q = $\frac{1}{4}$ thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

$S_n=S_1+S_2+\mathrm{...}+S_n+\mathrm{...}=\frac{\frac{1}{2}ah}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}ah$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 3 hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 79 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ ∈ (a; b) ....

• Bài 2 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau: a) lim$\frac{2n^2+6n+1}{8n^2+5}$ ....

• Bài 3 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau: a) $\underset{x\to -3}{\lim }\left(4x^2-5x+6\right)$ ....

• Bài 4 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau: a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{6x+8}{5x-2}$ ....

• Bài 5 trang 79 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = ....

• Bài 6 trang 80 Toán 11 Tập 1: Từ độ cao 55,8 m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18) ....

• Bài 8 trang 80 Toán 11 Tập 1: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB ....