Giải Toán 11 trang 51 Tập 2 Chân trời sáng tạo

---

Với Giải Toán 11 trang 51 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 7 Toán 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 51.

Giải Toán 11 trang 51 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 51 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = x³ – 3x². Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(−1; −4) có hệ số góc bằng

A. -3

B. 9

C. -9

D. 72

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có y' = (x³ – 3x²)' = 3x² – 6x.

Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(−1; −4) có hệ số góc là:

k = y'(−1) = 3*(−1)2 – 6*(−1) = 9.

Vậy k = 9 là hệ số góc cần tìm.

Bài 2 trang 51 Toán 11 Tập 2: Hàm số y = −x² + x + 7 có đạo hàm tại x = 1 bằng

A. -1

B. 7

C. 1

D. 6

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Có y' = (−x² + x + 7)' = −2x + 1.

Khi đó y'(1) = −2*1 + 1 = −1.

Vậy đạo hàm của hàm số y = −x² + x + 7 tại x = 1 là −1.

Bài 3 trang 51 Toán 11 Tập 2: Cho hai hàm số f(x) = 2x³ – x² + 3 và $g\left(x\right)=x^3+\frac{x^2}{2}-5$. Bất phương trình f'(x) > g'(x) có tập nghiệm là

A. (−$\infty$; 0] $\cup$ [1; +$\infty$).

B. (0; 1).

C. [0; 1].

D. (−$\infty$; 0) $\cup$ (1; +$\infty$).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Có f'(x) = (2x³ – x² + 3)' = 6x² – 2x.

$g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x^3+\frac{x^2}{2}-5\right)}^{\text{'}}$= 3x² + x.

Để f'(x) > g'(x) thì 6x² – 2x > 3x² + x

$\iff$ 3x² – 3x > 0 $\iff$ 3x(x – 1) > 0

$\iff$ x < 0 hoặc x > 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (−$\infty$; 0) $\cup$ (1; +$\infty$).

Bài 4 trang 51 Toán 11 Tập 2: Hàm số $y=\frac{x+3}{x+2}$ có đạo hàm là

A. $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}$.

B. $y^{\text{'}}=\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}$.

C. $y^{\text{'}}=\frac{-1}{{\left(x+2\right)}^2}$.

D. $y^{\text{'}}=\frac{-5}{{\left(x+2\right)}^2}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

$y^{\text{'}}={\left(\frac{x+3}{x+2}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(x+3\right)}^{\text{'}}\left(x+2\right)-\left(x+3\right){\left(x+2\right)}^{\text{'}}}{{\left(x+2\right)}^2}$

$=\frac{x+2-\left(x+3\right)}{{\left(x+2\right)}^2}$$=\frac{-1}{{\left(x+2\right)}^2}$.

Bài 5 trang 51 Toán 11 Tập 2: Hàm số $y=\frac{1}{x+1}$ có đạo hàm cấp hai tại x = 1 là

A. $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{2}$.

B. $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=-\frac{1}{4}$.

C. $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=4$.

D. $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{4}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Có $y^{\text{'}}={\left(\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}$$=-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$; $y^{\text{'}\text{'}}={\left(-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{2}{{\left(x+1\right)}^3}$.

Khi đó $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=\frac{2}{{\left(1+1\right)}^3}=\frac{1}{4}$.

Bài 6 trang 51 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x² – 2x + 3 có đồ thị (C) và điểm M(−1; 6) $\in$ (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M.

Lời giải:

Có f'(x) = (x² – 2x + 3)' = 2x – 2.

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M có hệ số góc k = f'(−1) = 2×(−1) – 2 = −4.

Do đó phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M là:

y = −4(x + 1) + 6 = −4x + 2.

Vậy y = −4x + 2 là tiếp tuyến cần tìm.

Bài 7 trang 51 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 3x⁴ – 7x³ + 3x² + 1;

b) y = (x² – x)³;

c) $y=\frac{4x-1}{2x+1}$.

Lời giải:

a) y' = (3x⁴ – 7x³ + 3x² + 1)' = 12x³ – 21x² + 6x.

b) y' = [(x² – x)³]' = 3(x² – x)²×(x² – x)' = 3(x² – x)²×(2x – 1).

c) $y^{\text{'}}={\left(\frac{4x-1}{2x+1}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(4x-1\right)}^{\text{'}}\left(2x+1\right)-\left(4x-1\right){\left(2x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(2x+1\right)}^2}$

$=\frac{4\left(2x+1\right)-2\left(4x-1\right)}{{\left(2x+1\right)}^2}$$=\frac{8x+4-8x+2}{{\left(2x+1\right)}^2}$$=\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}$.

Bài 8 trang 51 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x² + 3x – 1)e^x;

b) y = x³log₂x.

Lời giải:

a) y' = [(x² + 3x – 1)e^x]' = (x² + 3x – 1)'e^x + (x² + 3x – 1)(e^x)'

= (2x + 3)e^x + (x² + 3x – 1)e^x = (x² + 5x + 2)e^x.

b) y' = (x³log₂x)' = (x³)'log₂x + x³(log₂x)'

= 3x²log₂x + $\frac{x^3}{x\ln 2}$ $=3x^2{\log }_{2}x+\frac{x^2}{\ln 2}$.

Bài 9 trang 51 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = tan(e^x + 1);

b) $y=\sqrt{\sin 3x}$;

c) y = cot(1 – 2^x).

Lời giải:

a) y' = [tan(e^x + 1)]' = $\frac{{\left(e^x+1\right)}^{\text{'}}}{{\text{cos}}^2\left(e^x+1\right)}$$=\frac{e^x}{{\text{cos}}^2\left(e^x+1\right)}$.

b) $y^{\text{'}}={\left(\sqrt{\sin 3x}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(\sin 3x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{\sin 3x}}$

$=\frac{\cos 3x\cdot {\left(3x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{\sin 3x}}$$=\frac{3\cos 3x}{2\sqrt{\sin 3x}}$.

c) y' = [cot(1 – 2^x)]' = $-\frac{{\left(1-2^x\right)}^{\text{'}}}{{\sin }^2\left(1-2^x\right)}$

$=-\frac{-2^x\ln 2}{{\sin }^2\left(1-2^x\right)}$$=\frac{2^x\ln 2}{{\sin }^2\left(1-2^x\right)}$.

Bài 10 trang 51 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = x³ – 4x² + 2x – 3;

b) y = x²e^x.

Lời giải:

a) y' = (x³ – 4x² + 2x – 3)' = 3x² – 8x + 2.

y" = (3x² – 8x + 2)' = 6x – 8.

Vậy y" = 6x – 8.

b) y' = (x²e^x)' = (x²)'×e^x + x²(e^x)' = 2xe^x + x²e^x = (2x + x²)e^x.

y" = [(2x + x²)e^x]' = (2x + x²)'e^x + (2x + x²)(e^x)'

= (2x + 2)e^x + (2x + x²)e^x = (x² + 4x + 2)e^x.

Vậy y" = (x² + 4x + 2)e^x.

Bài 11 trang 51 Toán 11 Tập 2: Một viên sỏi rơi từ độ cao 44,1 m thì quãng đường rơi được biểu diễn bởi công thức s(t) = 4,9t², trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính:

a) Vận tốc rơi của viên sỏi lúc t = 2;

b) Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất.

Lời giải:

a) Vận tốc rơi của viên sỏi tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = (4,9t²)' = 9,8t.

Vận tốc rơi của viên sỏi lúc t = 2 là v(2) = 9,8×2 = 19,6 (m/s).

Vậy vận tốc rơi của viên sỏi lúc t = 2 là 19,6 m/s.

b) Viên sỏi chạm đất khi 4,9t² = 44,1 $\iff$ t² = 9 $\iff$ t = 3 (vì t > 0).

Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất là v(3) = 9,8×3 = 29,4 (m/s).

Vậy vận tốc của viên sỏi khi chạm đất là 29,4 m/s.

Bài 12 trang 51 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức s(t) = 2t³ + 4t + 1, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc và gia tốc của vật khi t = 1.

Lời giải:

Ta có v(t) = s'(t) = (2t³ + 4t + 1)' = 6t² + 4.

a(t) = v'(t) = (6t² + 4)' = 12t.

Vận tốc của vật khi t = 1 là: v(1) = 6×1² + 4 = 10 (m/s).

Gia tốc của vật khi t = 1 là: a(1) = 12×1 = 12 (m/s²).

Vậy vận tốc và gia tốc của vật khi t = 1 lần lượt là 10 m/s và 12 m/s².

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 7 hay khác:

• Giải Toán 11 trang 52