Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB // CD và AB = BC = DA = a, CD = 2a. Biết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD)


Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB // CD và AB = BC = DA = a, CD = 2a. Biết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA=a2 . Tính theo a khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và thể tích của khối chóp S.ABCD.

Trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) nên SO ^ (ABCD).

Khi đó d(S, (ABCD)) = SO.

Kẻ AH ^ DC tại H, BK ^ DC tại K.

Khi đó ABKH là hình chữ nhật nên AB = HK = a.

Xét DAHD và DBKC có: AD = BC = a,AHD^=BKC^=90° , ADH^=BCK^ (do ABCD là hình thang cân).

Do đó DAHD = DBKC, suy ra DH = CK = DCHK2=2aa2=a2  ;

CH = HK + CK = a+a2=3a2  .

Xét tam giác AHD vuông tại H, có  AH=AD2DH2=a2a24=a32.

Xét tam giác AHC vuông tại H, có  AC=AH2+HC2=3a24+9a24=a3.

Vì AB // CD nên AOOC=ABCDAOOC=a2a=12AO=13AC=a33 .

Xét tam giác SOA vuông tại O, có SO=SA2AO2=2a2a23=a153  .

Khi đó d(S, (ABCD)) =a153 .

Ta có SABCD=12AB+CDAH=12a+2aa32=3a234 .

Vậy VS.ABCD=13SABCDSO=133a234a153=a34512=a354  .

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết:

Câu 1:

Cho các phát biểu sau:

(1) (P) và (Q) có giao tuyến là đường thẳng a và cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì a ^ (R).

(2) Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và có giao tuyến là đường thẳng a, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng a thì b ^ (Q).

(3) Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và a vuông góc với (Q) thì (P) ^ (Q).

(4) Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) thì a ^ (Q).

Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là:

Xem lời giải »


Câu 2:

Cho mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và a là giao tuyến của (P) và (Q). Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu nào đúng?

Xem lời giải »


Câu 3:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Xem lời giải »


Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ^ (ABCD).

Phát biểu nào sau đây là sai?

Xem lời giải »


Câu 5:

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột AB có chiều dài bằng 10 m và tạo với mặt đất góc 80°. Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng BC của cây cột trên mặt đất dài 12 m vào tạo với cây cột một góc bằng 120° (tức là ABC^=120°). Tính góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên.

Xem lời giải »