HĐ1 trang 13 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

---

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≤ t ≤ 4) (H.4.4)

Giải Toán 12 Bài 12: Tích phân - Kết nối tri thức

HĐ1 trang 13 Toán 12 Tập 2: Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≤ t ≤ 4) (H.4.4)

a) Tính diện tích S của T khi t = 4.

b) Tính diện tích S(t) của T khi t ∈ [1; 4].

c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = t + 1, t ∈ [1; 4] và diện tích S = S(4) – S(1).

Lời giải:

a)

Kí hiệu A(1; 0), B(4; 0) và C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 4; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.

Khi đó C(4; 5), D(1; 2).

Ta có: AD = 2; BC = 5; AB = 3.

Khi đó diện tích hình thang T là $S=\frac{\left(AD+BC\right).AB}{2}=\frac{\left(2+5\right).3}{2}=\frac{21}{2}$.

b)

Gọi A(1; 0), B(t; 0), t ∈ [1; 4] và C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = t; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.

Khi đó C(t; t + 1); D(1; 2).

Do đó AB = t – 1; AD = 2; BC = t + 1.

Khi đó diện tích hình thang ABCD là

$S\left(t\right)=\frac{\left(AD+BC\right).AB}{2}=\frac{\left(t+3\right).\left(t-1\right)}{2}=\frac{t^2+2t-3}{2}.$

c) Có $S\left(t\right)=\frac{t^2+2t-3}{2}$$\Rightarrow S^{\text{'}}\left(t\right)={\left(\frac{t^2+2t-3}{2}\right)}^{\text{'}}=\frac{2\left(t+1\right)}{2}=t+1=f\left(t\right)$

Do đó S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = t + 1, t ∈ [1; 4].

Có $S\left(4\right)=\frac{4^2+2.4-3}{2}=\frac{21}{2};S\left(1\right)=\frac{1^2+2.1-3}{2}=0$

Do đó S(4) – S(1) = S.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 12: Tích phân hay, chi tiết khác:

• Mở đầu trang 12 Toán 12 Tập 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −40t + 20 (m/s) ....

• HĐ2 trang 13 Toán 12 Tập 2: Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = x², trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 ....

• HĐ3 trang 14 Toán 12 Tập 2: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn [a; b] ....

• Luyện tập 1 trang 15 Toán 12 Tập 2: Tính: a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$;     b) $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx$;               c)$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin xdx$ ....

• Luyện tập 2 trang 16 Toán 12 Tập 2: Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(2x+1\right)dx$ ;         b) $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\sqrt{4-x^2}dx$ ....

• Vận dụng 1 trang 16 Toán 12 Tập 2: Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu ....

• HĐ4 trang 16 Toán 12 Tập 2: Tính và so sánh: a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}2xdx$ và $2\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx$; ....

• Luyện tập 3 trang 17 Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau: a) $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\left(2x+\cos x\right)dx$;        b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(3^x-\frac{3}{x}\right)dx$ ....

• Luyện tập 4 trang 17 Toán 12 Tập 2: Tính $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|2x-3\right|dx$ ....

• Vận dụng 2 trang 17 Toán 12 Tập 2: Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là $\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ ....

• Bài 4.8 trang 18 Toán 12 Tập 2: Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(2x+1\right)dx$;     b) $\underset{-3}{\overset{3}{\int }}\sqrt{9-x^2}dx$ ....

• Bài 4.9 trang 18 Toán 12 Tập 2: Cho $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=5$ và $\underset{0}{\overset{3}{\int }}g\left(x\right)dx=2$. Tính: ....

• Bài 4.10 trang 18 Toán 12 Tập 2: Tính: a) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x-1\right)}^{2}dx$;       b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(1+\sin x\right)dx$ ....

• Bài 4.11 trang 18 Toán 12 Tập 2: Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là v(t) = t² – t – 6 (m/s) ....

• Bài 4.12 trang 18 Toán 12 Tập 2: Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức P'(x) = −0,0005x + 12,2 ....

• Bài 4.13 trang 18 Toán 12 Tập 2: Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức v = k(R² – r²) ....