10 Bài tập Trắc nghiệm Phương trình mặt cầu (có đáp án) - Kết nối tri thức Toán 12

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với 10 bài tập trắc nghiệm Phương trình mặt cầu Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

10 Bài tập Trắc nghiệm Phương trình mặt cầu (có đáp án) - Kết nối tri thức Toán 12

I. Nhận biết

Câu 1. Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm $I\left(x_0;y_0;z_0\right)$ bán kính R có phương trình là:

A. ${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2=R^2.$

B. $\left(x-x_0\right)+\left(y-y_0\right)+\left(z-z_0\right)=R.$

C. $\left(x-x_0\right)+\left(y-y_0\right)+\left(z-z_0\right)=R^2.$

D. ${\left(x-x_0\right)}^2-{\left(y-y_0\right)}^2-{\left(z-z_0\right)}^2=R^2.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

A. $x^2+y^2+z^2-2x=0.$

B. $x^2+y^2-z^2+2x-y+1=0.$

C. $2x^2+y^2={\left(x+y\right)}^2-z^2+2x+1.$

D. ${\left(x+y\right)}^2=2xy-z^2-1.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu có dạng

$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $d=a^2+b^2+c^2-R^2.$

Xét các đáp án, chỉ có đáp án A thỏa mãn, đồng thời ta có thể viết lại như sau:

$x^2+y^2+z^2-2x=0$ hay ${\left(x-1\right)}^2+y^2+z^2=1$.

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (S): ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+3\right)}^2=16$ có tâm là

A. $I\left(1;0;3\right).$

B. $I\left(-1;0;-3\right).$

C. $I\left(1;0;-3\right).$

D. $I\left(1;2;-3\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+3\right)}^2=16$

$\iff {\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-\left(-3\right)\right)}^2=4^2$

Do đó, tâm mặt cầu là $I\left(1;0;-3\right).$

Câu 4. Cho điểm M nằm ngoài mặt cầu $S\left(O;R\right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $OM<R.$

B. $OM=R.$

C. $OM>R.$

D. $OM\le R.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Câu 5.  Điều kiện đề phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là phương trình mặt cầu là

A. $a+b+c-d>0.$

B. $a^2+b^2+c^2+d>0.$

C. $a^2+b^2+c^2-d>0.$

D. $a^2+b^2+c^2-d\ge 0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt cầu có dạng

$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $d=a^2+b^2+c^2-R^2.$

Để xác định một mặt cầu khi và chỉ khi $R^2=a^2+b^2+c^2-d>0.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z-3=0$ và một điểm $M\left(4;2;-2\right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm M là tâm của mặt cầu (S).

B. Điểm M nằm trên mặt cầu (S).

C. Điểm M nằm trong mặt cầu (S).

D. Điểm M nằm ngoài mặt cầu (S).

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z-3=0$

          ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$

Do đó, tâm của mặt cầu là $I\left(2;1;-1\right)$

Thay $M\left(4;2;-2\right)$ vào phương trình mặt cầu, ta được

${\left(4-2\right)}^2+{\left(2-1\right)}^2+{\left(-2+1\right)}^2=6<9$

Do đó điểm M nằm trong mặt cầu.

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+10y+3z+1=0$ đi qua điểm có tọa độ nào sau đây

A. $\left(3;-2;-4\right).$

B. $\left(4;-1;0\right).$

C. $\left(2;1;9\right).$

D. $\left(-1;3;-1\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta thay tọa độ các điểm ở từng đáp án vào phương trình mặt cầu (S).

Với $A\left(3;-2;-4\right)$, có: $3^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-4\right)}^2-2.3+10.\left(-2\right)+3.\left(-4\right)+1=-8\ne 0$

Do đó mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $\left(3;-2;-4\right)$

Với $B\left(4;-1;0\right)$, có: $4^2+{\left(-1\right)}^2+0^2-2.4+10.\left(-1\right)+3.0+1=0$

Do đó, mặt cầu (S) đi qua điểm có tọa độ $\left(4;-1;0\right)$

Với $C\left(2;1;9\right)$, có: $2^2+1^2+9^2-2.2+10.1+3.9+1=120\ne 0.$

Do đó, mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $\left(2;1;9\right)$

Với điểm $D\left(-1;3;-1\right)$, có: ${\left(-1\right)}^2+3^2+{\left(-1\right)}^2-2.\left(-1\right)+10.3+3.\left(-1\right)+1=41\ne 0$

Do đó, mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $\left(-1;3;-1\right)$

Câu 8. Phương trình mặt cầu tâm $I\left(1;-2;3\right)$ bán kính R = 3 là

A. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=3.$

B. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9.$

C. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=9.$

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=3.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu tâm $I\left(1;-2;3\right)$ bán kính R = 3 là

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=3^2$ hay ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9.$

Câu 9. Xác định tâm và bán kính mặt cầu $x^2+y^2+z^2+8x-6y+2z-10=0$ ta được

A. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 6

B. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 36

C. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 6

D. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 36

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $x^2+y^2+z^2+8x-6y+2z-10=0$

$\iff {\left(x+4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=36$

$\iff {\left(x+4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=6^2.$

Vậy ta được Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 6

III. Vận dụng

Câu 10. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm $G\left(-6;-12;18\right)$. Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là

A. $\left(9;18;-27\right).$

B. $\left(-3;-6;9\right).$

C. $\left(3;6;-9\right).$

D. $\left(-9;-18;27\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi $A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),C\left(0;0;c\right)$

Tam giác ABC có trọng tâm $G\left(-6;-12;18\right)$ nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{a+0+0}{3}=-6\\ \frac{0+b+0}{3}=-12\\ \frac{0+0+c}{3}=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-18\\ b=-36\\ c=54\end{array}\right.$

Suy ra $A\left(-18;0;0\right),B\left(0;-36;0\right),C\left(0;0;54\right)$

Gọi $I\left(x;y;z\right)$ , ta có: $\left\{\begin{array}{l}IO=IA\\ IA=IB\\ IB=IC\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}I{O}^2=I{A}^2\\ I{A}^2=I{B}^2\\ I{B}^2=I{C}^2\end{array}\right.$.

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2={\left(x+18\right)}^2+y^2+z^2\\ {\left(x+18\right)}^2+y^2+z^2=x^2+{\left(y+36\right)}^2+z^2\\ x^2+{\left(y+36\right)}^2+z^2=x^2+y^2+{\left(z-54\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}36x+324=0\\ 36x+324-72y-1296=0\\ 72y+1296+108z-2916=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=-9\\ y=-18\\ z=27\end{array}\right.$

Vậy tâm của mặt cầu là $I\left(-9;-18;27\right).$