Cho hai đa thức P = 5x4 + 3x3 + 7x2 + x  3 và Q = 5x4  4x3  x2 + 3x + 3. a) Xác định bậc của mỗi đa thức P + Q và P  Q. b) Tính giá trị của mỗi đa thức P + Q và P  Q tại x = 1; x = 1.

a) P + Q = (-5x⁴ + 3x³ + 7x² + x - 3) + (5x⁴ - 4x³ - x² + 3x + 3)

              = -5x⁴ + 3x³ + 7x² + x - 3 + 5x⁴ - 4x³ - x² + 3x + 3

              = (-5x⁴ + 5x⁴) + (3x³ - 4x³) + (7x² - x²) + (x + 3x) + (-3 + 3)

              = -x³ + 6x² + 4x.

Hạng tử có bậc cao nhất của đa thức P + Q là -x³ nên bậc của đa thức P + Q là 3.

P - Q = (-5x⁴ + 3x³ + 7x² + x - 3) - (5x⁴ - 4x³ - x² + 3x + 3)

          = -5x⁴ + 3x³ + 7x² + x - 3 - 5x⁴ + 4x³ + x² - 3x - 3

          = (-5x⁴ - 5x⁴) + (3x³ + 4x³) + (7x² + x²) + (x - 3x) + (- 3 - 3)

          = -10x⁴ + 7x³ + 8x² + (-2x) + (-6)

          = -10x⁴ + 7x³ + 8x² - 2x - 6

Hạng tử có bậc cao nhất của đa thức P - Q là -10x⁴ nên bậc của đa thức P - Q là 4.

b) Thay x = 1 vào đa thức P + Q ta có:

P + Q = -1³ + 6.1² + 4.1 = -1 + 6 + 4 = 9.

Thay x = -1 vào đa thức P + Q ta có:

P + Q = -(-1)³ + 6.(-1)² + 4.(-1) = -(-1) + 6.1 + (-4) = 1 + 6 - 4 = 3.

Thay x = 1 vào đa thức P - Q ta có:

P - Q = -10.1⁴ + 7.1³ + 8.1² - 2.1 - 6 = -10 + 7 + 8 - 2 - 6 = -3.

Thay x = -1 vào đa thức P - Q ta có:

P - Q = -10.(-1)⁴ + 7.(-1)³ + 8.(-1)² - 2.(-1) - 6

          = -10 + 7.(-1) + 8 - (-2) - 6

          = -10 + (-7) + 8 + 2 - 6

          = -13.

Vậy, tại x = 1 thì P + Q = 9; P – Q = – 3;

         tại x = –1 thì P + Q = 3; P – Q = –13.

c) Thay x = 0 vào đa thức P + Q ta có:

P + Q = -0³ + 6.0² + 4.0 = 0.

Thay x = 0 vào đa thức P - Q ta có:

P - Q = -10.0⁴ + 7.0³ + 8.0² - 2.0 - 6 = -6.

Ta thấy đa thức P + Q = 0 khi x = 0, P - Q = -6 khi x = 0.

Vậy x = 0 là nghiệm của đa thức P + Q.