Tìm đa thức P sao cho A = B. P, trong đó A = 2x4  3x3  3x2 + 6x  2 và B = x2  2. Tròn: “Mình nghĩ mãi là chưa giải được bài toán này. Vuông có cách nào giải không?” Vuông: “Ừ nhỉ! Nếu A v

Tìm đa thức P sao cho A = B. P, trong đó

A = 2x⁴ - 3x³ - 3x² + 6x - 2 và B = x² - 2.

Tròn: “Mình nghĩ mãi là chưa giải được bài toán này. Vuông có cách nào giải không?”

Vuông: “Ừ nhỉ! Nếu A và B là hai số thì chỉ việc lấy A chia cho B là xong nhưng A và B lại là hai đa thức”.

Pi: “Cũng thế thôi các em ạ. Trước hết các em phải tìm hiểu cách chia hai đa thức”.

Lời giải:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Lấy hạng tử có bậc cao nhất của A chia cho hạng tử có bậc cao nhất của B:

2x⁴ : x² = 2x².

Bước 2. Lấy A trừ đi tích B. 2x² ta được dư thứ nhất là -3x³ + x² + 6x - 2.$\begin{array}{cccccccccc}& 2{\text{x}}^4& -& 3{\text{x}}^3& -& 3{\text{x}}^2& +& 6\text{x}& -& 2\\ \overline{}& 2{\text{x}}^4& & & -& 4{\text{x}}^2& & & & \\ & & -& 3{\text{x}}^3& +& x^2& +& 6\text{x}& -& 2\end{array}\begin{array}{ccc}{x}^2& -& 2\\ 2{\text{x}}^2& & \\ & & \end{array}$

Bước 3. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

(-3x³) : x² = -3x.

Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B. (-3x) ta được dư thứ hai là x² - 2.$\begin{array}{cccccccccc}& 2{\text{x}}^4& -& 3{\text{x}}^3& -& 3{\text{x}}^2& +& 6\text{x}& -& 2\\ \overline{}& 2{\text{x}}^4& & & -& 4{\text{x}}^2& & & & \\ & & -& 3{\text{x}}^3& +& x^2& +& 6\text{x}& -& 2\\ & & -& 3{\text{x}}^3& & & +& 6\text{x}& & \\ & & & & & x^2& & & -& 2\end{array}\begin{array}{ccc}{x}^2& -& 2\\ 2{\text{x}}^2& -& 3\text{x}\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Bước 5. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ hai chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

x² : x² = 1.

Bước 6. Lấy dư thứ hai trừ đi tích B. 1 ta được dư thứ ba là 0.$\begin{array}{l}\begin{array}{cccccccccc}& 2{\text{x}}^4& -& 3{\text{x}}^3& -& 3{\text{x}}^2& +& 6\text{x}& -& 2\\ \overline{}& 2{\text{x}}^4& & & -& 4{\text{x}}^2& & & & \\ & & -& 3{\text{x}}^3& +& x^2& +& 6\text{x}& -& 2\\ & \overline{}& -& 3{\text{x}}^3& & & +& 6\text{x}& & \\ & & & & & x^2& & & -& 2\\ & & & & \overline{}& x^2& & & -& 2\end{array}\begin{array}{ccccc}{x}^2& -& 2& & \\ 2{\text{x}}^2& -& 3\text{x}& +& 1\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}\\ \begin{array}{cccccccccc}& & & & & & & & & 0\end{array}\end{array}$

Bước 7. Dư cuối cùng bằng 0 nên quá trình chia kết thúc.

Vậy A : B = 2x² - 3x + 1.