Giải Toán 9 trang 83 Tập 2 Kết nối tri thức

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải bài tập Toán 9 trang 83 Tập 2 trong Bài 29: Tứ giác nội tiếp Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 9 trang 83.

Giải Toán 9 trang 83 Tập 2 Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 83 Toán 9 Tập 2: Cho hình thoi ABCD có các cạnh bằng 3 cm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng tỏ rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.

Lời giải:

⦁ Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác. Do đó MN // AC và MN = $\frac{1}{2}$AC. (1)

Chứng minh tương tự đối với ∆ACD, ta cũng có PQ // AC và PQ = $\frac{1}{2}$AC. (2)

Từ (1) và (2) ta có MN // PQ và MN = PQ.

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD. (3)

Xét ∆ABD có M, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MQ là đường trung bình của tam giác. Do đó MQ // BD. (4)

Từ (1), (3) và (4) suy ra MN ⊥ MQ hay $\widehat{NMQ}=90°.$

Khi đó hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật.

⦁ Vì MNPQ là hình chữ nhật nên đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật có tâm là giao điểm hai đường chéo MP và NQ.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD và AB = CD.

Lại có M, P lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AM = MB = CP = PD và AM // CP.

Do đó tứ giác AMCP là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo AC và MP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lại có O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MP.

Khi đó, đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ có tâm là điểm O và bán kính là OM.

Xét ∆ABC có M, O lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MO là đường trung bình của tam giác. Do đó $MO=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 3=1,5\text{(cm).}$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng 1,5 cm.

Thử thách nhỏ 2 trang 83 Toán 9 Tập 2: Nếu các hình chữ nhật có chung một đường chéo (ví dụ như hai hình chữ nhật ABCD và AECF trong Hình 9.36) thì các đỉnh của chúng có cùng nằm trên một đường tròn không?

Lời giải:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn đường kính AC, hay bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính AC.

Vì AECF là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn đường kính AC, hay bốn điểm A, E, C, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AC.

Do đó các điểm A, B, C, D, E, F cùng nằm trên đường kính AC.

Vậy các đỉnh của hai hình chữ nhật có chung một đường chéo thì các đỉnh của chúng cùng nằm trên một đường tròn đường kính là đường chéo chung đó.

Bài 9.18 trang 83 Toán 9 Tập 2: Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Tính số đo của các góc còn lại của tứ giác trong mỗi trường hợp sau:

a) $\hat{A}=60°,\hat{B}=80°;$

b) $\hat{B}=70°,\hat{C}=90°;$

c) $\hat{C}=100°,\hat{D}=60°;$

d) $\hat{D}=110°,\hat{A}=80°.$

Lời giải:

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó $\hat{A}+\hat{C}=180°$ và $\hat{B}+\hat{D}=180°.$

a)

Ta có:

⦁ $\hat{A}+\hat{C}=180°$ hay $\hat{C}=180°-\hat{A}=180°-60°=120°;$

⦁ $\hat{B}+\hat{D}=180°$ hay $\hat{D}=180°-\hat{B}=180°-80°=100°.$

b)

Ta có:

⦁ $\hat{A}+\hat{C}=180°$ hay $\hat{A}=180°-\hat{C}=180°-90°=90°;$

⦁ $\hat{B}+\hat{D}=180°$ hay $\hat{D}=180°-\hat{B}=180°-70°=110°.$

c)

Ta có:

⦁ $\hat{A}+\hat{C}=180°$ hay $\hat{A}=180°-\hat{C}=180°-100°=80°;$

⦁ $\hat{B}+\hat{D}=180°$ hay $\hat{B}=180°-\hat{D}=180°-60°=120°.$

d)

Ta có:

⦁ $\hat{A}+\hat{C}=180°$ hay $\hat{C}=180°-\hat{A}=180°-80°=100°;$

⦁ $\hat{B}+\hat{D}=180°$ hay $\hat{B}=180°-\hat{D}=180°-110°=70°.$

Bài 9.19 trang 83 Toán 9 Tập 2: Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng $\widehat{IBD}=\widehat{ICA},\widehat{IAC}=\widehat{IDB}$ và IA . IB = IC . ID.

Lời giải:

– Vì tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó:

⦁ $\widehat{DCA}+\widehat{ABD}=180°$

Mà $\widehat{DCA}+\widehat{ICA}=180°$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{ABD}=\widehat{ICA}$ hay $\widehat{IBD}=\widehat{ICA}.$

⦁ $\widehat{BAC}+\widehat{BDC}=180°.$

Mà $\widehat{BAC}+\widehat{IAC}=180°$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{BDC}=\widehat{IAC}$ hay $\widehat{IDB}=\widehat{IAC}.$

– Xét ∆IAC và ∆IDB, có:

$\widehat{IAC}=\widehat{IDB}$ (chứng minh trên) và $\widehat{BID}$ là góc chung

Do đó ∆IAC ᔕ ∆IDB (g.g)

Suy ra $\frac{IA}{ID}=\frac{IC}{IB}$ (tỉ số đồng dạng) nên IA . IB = IC . ID.

Bài 9.20 trang 83 Toán 9 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.

Lời giải:

Vì hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó: $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180°.\left(1\right)$

Vì ABCD là hình bình hành nên hai góc đối bằng nhau, do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ABC}+\widehat{ABC}=180°.$

Hay $2\widehat{ABC}=180°,$ do đó $\widehat{ABC}=90°.$

Hình bình hành ABCD có $\widehat{ABC}=90°$ nên là hình chữ nhật.

Vậy ABCD là hình chữ nhật.

Bài 9.21 trang 83 Toán 9 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB song song với CD) nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Lời giải:

Vì hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó: $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180°.\left(1\right)$

Vì ABCD là hình thang nên AB // CD, do đó $\widehat{ABC}+\widehat{BCD}=180°.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}.$

Hình thang ABCD có $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ nên là hình thang cân.

Bài 9.22 trang 83 Toán 9 Tập 2: Tính diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng hình chữ nhật đó có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2,5 cm.

Lời giải:

Giả sử ABCD là hình chữ nhật có AB = 2BC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 2,5 cm (hình vẽ).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn tâm O là giao điểm hai đường chéo AC, BD và bán kính bằng nửa độ dài đường chéo AC, hay AC là đường kính của đường tròn (O).

Do đó AC = 2 . 2,5 = 5 (cm).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ABC}=90°.$

Áp dụng định lí Pythagore vào ∆ABC vuông tại B, ta có:

AC² = AB² + BC²

Suy ra 5² = (2BC)² + BC²

Do đó 25 = 4BC² + BC²

Hay 5BC² = 25, suy ra BC² = 5, nên $BC=\sqrt{5}\text{(cm).}$

Khi đó, $AB=2BC=2\sqrt{5}\text{(cm).}$

Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD là:

$S=AB\cdot BC=2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=10{\text{ (cm}}^2\text{).}$

Bài 9.23 trang 83 Toán 9 Tập 2: Người ta muốn dựng một khung cổng hình chữ nhật rộng 4 m và cao 3 m, bên ngoài khung cổng được bao bởi một khung thép dạng nửa đường tròn như Hình 9.37. Tính chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó.

Lời giải:

Giả sử ABCD là khung cổng hình chữ nhật (AB = CD = 3 m và AD = BC = 4 m) nội tiếp nửa đường tròn (O) (hình vẽ).

Gọi H là trung điểm của CD.

Khi đó $HB=HC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 4=2\text{(m)}$ và H nằm trên đường trung trực của BC.

Vì B, C cùng nằm trên nửa đường tròn (O) nên OB = OC, suy ra O nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó OH là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên OH ⊥ BC.

Mà BC // AD (do ABCD là hình chữ nhật) nên OH ⊥ AD.

Xét tứ giác ABHO có $\widehat{OAB}=\widehat{AOH}=\widehat{OHB}=90°$ nên ABHO là hình chữ nhật.

Do đó OH = AB = 3 (m).

Xét ∆OBH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OB² = OH² + HB² = 3² + 2² = 13.

Do đó $OB=\sqrt{13}\text{m}.$

Nửa chu vi đường tròn (O) là: $\pi \sqrt{13}\text{(m).}$

Vậy chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó là: $\pi \sqrt{13}\text{(m).}$

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 29: Tứ giác nội tiếp hay khác:

• Giải Toán 9 trang 80

• Giải Toán 9 trang 81

• Giải Toán 9 trang 82