Các bài toán về phép quay và cách giải - Toán lớp 11

---

Các bài toán về phép quay và cách giải

Với Các bài toán về phép quay và cách giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập phép quay từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

I. Lý thuyết ngắn gọn

1. Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M′ sao cho OM′ = OM và góc lượng giác (OM;OM^') = α được gọi là phép quay tâm O, α được gọi là góc quay

Kí hiệu: Q_(O;α)

Khi α = 2kπ, k ∈ Z thì Q_(O;α) là phép đồng nhất

Khi α = (2k+ 1)π, k ∈ Z thì Q_(O;α) là phép đối xứng tâm O

2. Trong mặt phẳng Oxy, giả sử M (x; y) và M^'(x^',y^') = Q_(O;α) (M) thì

Trong mặt phẳng Oxy, giả sử M (x; y) và I (a; b) và M^'(x^',y^') = Q_(O;α) (M) thì

3. Các tính chất của phép quay:
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

II. Các dạng toán về phép quay

Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép quay
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa phép quay, biểu thức tọa độ của phép quay và các tính chất của phép quay

Ví dụ 1: Tìm ảnh của điểm A (3; 4) qua phép quay tâm O góc quay 90⁰

Lời giải

Với phép quay tâm O góc 90 độ điểm A thành A’(x; y) có tọa độ thỏa mãn:

Do α = 90⁰ > 0 phép quay theo chiều dương suy ra: A’ (-4; 3)

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M (2; 0) và đường thẳng d: x + 2y – 2 = 0. Xét phép quay Q tâm O góc quay 90⁰

a. Tìm ảnh của điểm M qua phép quay Q
b. Tìm ảnh của d qua phép quay Q

Lời giải

a. Ta có vì

b. Ta có M(2;0) ∈ d, ảnh của M qua phép quay Q theo câu a là M’ (0; 2)

Gọi d’ là ảnh của d qua Q ta có d’ là đường thẳng qua M’ và vuông góc với d

Đường thẳng d có VTPT là suy ra d’ có VTPT là

Vậy phương trình của d’ là: 2(x - 0) - 1(y - 2) = 0 ⇔ 2x - y + 2 = 0

Dạng 2: Sử dụng phép quay để giải các bài toán dựng hình

Phương pháp giải: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay Q_(I;α) nào đó

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng. Hãy tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và B sao cho tam giác ABC là tam giác đều

Lời giải

Nếu xem B là ảnh của A qua phép quay tâm C góc quay 60° thì B sẽ là giao của đường thẳng b với đường thẳng a’ là ảnh của a qua phép quay nói trên

Số nghiệm của bài toán là số giao điểm của đường thẳng b với đường thẳng a’

Ví dụ 4: Cho điểm A và hai đường thẳng d₁,d₂. Dựng tam giác ABC vuông cân tại A sao cho B ∈ d₁, C ∈ d₂

Lời giải

- Dựng đường thẳng d^'₂ là ảnh của d₂ qua Q_(A;-90⁰)

- Dựng giao điểm B = d₁ ∩ d^'₂

- Dựng đường thẳng qua A vuông góc với AB cắt d₂ tại C

Tam giác ABC là tam giác cần dựng

Nhận xét:

- Nếu d₁,d₂ không vuông góc thì bài toán có một nghiệm hình

- Nếu d₁ ⊥ d₂ và A nằm trên đường phân giác của một trong các góc tạo bởi d₁,d₂ thì bài toán có vô số nghiệm hình

- Nếu d₁ ⊥ d₂ và A không nằm trên đường phân giác của một trong các góc tạo bởi d₁,d₂ thì bài toán vô nghiệm hình

Dạng 3: Sử dụng phép quay để giải các bài toán tập hợp điểm

Phương pháp giải: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay Q_(I;α) nào đó. Để tìm tập hợp điểm M′ ta đi tìm tập hợp điểm M mà Q_(I;α) nào đó biến điểm M thành điểm M′, khi đó nếu M ∈ (H) thì (M^') ∈ (H^') = Q_(I;α)((H))

Ví dụ 5: Cho đường tròn (O, R), A là một điểm cố định không trùng với tâm O, BC là một dây cung của (O), BC di động nhưng số đo của cung BC luôn bằng 120⁰.Gọi I là trung điểm của BC, vẽ tam giác đều AIJ. Tìm tập hợp điểm J

Lời giải

Ta có I là trung điểm của BC và cung BC = 120⁰

Nên OI ⊥ BC và

Xét tam giác OIB có:

Do đó tập hợp các điểm I là đường tròn (γ) tâm O bán kính

Mặt khác, tam giác AIJ đều nên ta có

Mà tập hợp các điểm I là đường tròn (γ) nên tập hợp các điểm J là hai đường tròn (γ₁) và (γ₂) với:

(γ₁) là đường tròn tâm (O₁) , bán kính

(γ₂) là đường tròn tâm (O₂) , bán kính

Ví dụ 6: Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm G. Tìm quỹ tích các điểm B, C khi A di động trên a

Lời giải

Do tam giác ABC đều và có tâm G nên phép quay tâm G góc quay 120⁰ biến A thành B hoặc C và phép quay tâm G góc quay 240⁰ biến A thành B hoặc C

Mà A ∈ a nên B, C thuộc các đường thẳng là ảnh của a trong hai phép quay nói trên

Vậy quỹ tích các điểm B, C là các đường thẳng ảnh của a trong hai phép quay tâm G góc quay 120⁰ và 240⁰

Dạng 4: Sử dụng phép quay để giải các bài toán hình học phẳng

Ví dụ 7: Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA'B' có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn thẳng AB' và nằm ngoài đoạn thẳng A'B. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm các tam giác OAA' và OBB'. Chứng minh rằng GOG' là tam giác vuông cân

Lời giải

Xét phép quay Q tâm O góc quay 90⁰, ta có:

Vậy, ta được tam giác GOG' là tam giác vuông cân

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC, dựng ở ngoài tam giác ấy hai hình vuông ABDE và BCKF. Gọi P là trung điểm cạnh AC, H là điểm đối xứng của D qua B, M là trung điểm đoạn FH

a. Xác định ảnh của hai vectơ trong phép quay tâm B góc 90⁰

b. Chứng minh rằng DF = 2BP và DF vuông góc với BP

Lời giải

a. Ta có:

b. Vì P là trung điểm của AC nên theo tính chất của phép quay ta có ảnh của P qua phép quay trên trung điểm M của HF

Mặt khác:

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ta dựng các hình vuông ABDE và ACFH. Gọi I là trung điểm của cạnh BCE

a. Chứng minh rằng AE = CD

b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AE và CD. Chứng minh rằng tam giác BIJ là một tam giác đều

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa đường tròn cố định

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A (3; 4). Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc 90⁰

Bài 4: Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc 90⁰

Bài 5: Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng

a. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D

b. Chứng minh AO vuông góc với PQ và AO = PQ

Bài 6: Dựng tam giác đều biết ba đỉnh nằm trên bốn cạnh của một hình bình hành cho trước

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B (-3; 6). Tìm tọa độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép quay tâm O góc quay -90⁰

Bài 8: Cho hình vuông tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay α, 0 < α ≤ 2π biến hình vuông trên thành chính nó?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 0) và điểm N (0; 2). Phép quay tâm O biến điểm M thành điển N, khi đó góc quay của nó là bao nhiêu?
Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (3; 0). Tìm tọa độ ảnh A' của điểm A qua phép quay Q₀⁹⁰⁰