Bài 2 trang 10 Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn MM’. Hãy chứng minh f là một phép dời hình.

Giải Chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn MM’. Hãy chứng minh f là một phép dời hình.

Lời giải:

• Phép biến hình f biến 1 điểm thuộc d thành chính nó, do đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc d qua phép biến hình f được bảo toàn (1)

• Lấy hai điểm M, N bất kì không thuộc d.

Ta có M’ = f(M) và N’ = f(N).

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MM’ và NN’.

Suy ra $\overrightarrow{\mathrm{MH}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}\mathrm{H}}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{\mathrm{KN}}+\overrightarrow{{\mathrm{KN}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$

Ta có:

⦁ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}=\left(\overrightarrow{\mathrm{MH}}+\overrightarrow{\mathrm{HK}}+\overrightarrow{\mathrm{KN}}\right)+\left(\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}\mathrm{H}}+\overrightarrow{\mathrm{HK}}+\overrightarrow{{\mathrm{KN}}^{\text{'}}}\right)$

$=\left(\overrightarrow{\mathrm{MH}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}\mathrm{H}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{KN}}+\overrightarrow{{\mathrm{KN}}^{\text{'}}}\right)+2\overrightarrow{\mathrm{HK}}$

$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{\mathrm{HK}}$ (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)

$=2\overrightarrow{\mathrm{HK}}$

⦁ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}-\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}=\left(\overrightarrow{\mathrm{HN}}-\overrightarrow{\mathrm{HM}}\right)-\left(\overrightarrow{{\mathrm{HN}}^{\text{'}}}-\overrightarrow{{\mathrm{HM}}^{\text{'}}}\right)$

$=\overrightarrow{\mathrm{HN}}-\overrightarrow{\mathrm{HM}}-\overrightarrow{{\mathrm{HN}}^{\text{'}}}+\overrightarrow{{\mathrm{HM}}^{\text{'}}}$

$=\left(\overrightarrow{\mathrm{HN}}-\overrightarrow{{\mathrm{HN}}^{\text{'}}}\right)+\left(\overrightarrow{{\mathrm{HM}}^{\text{'}}}-\overrightarrow{\mathrm{HM}}\right)=\overrightarrow{{\mathrm{N}}^{\text{'}}\mathrm{N}}+\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}$

Khi đó ${\overrightarrow{\mathrm{MN}}}^2-{\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}}^2=\left(\overrightarrow{\mathrm{MN}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}\right)\left(\overrightarrow{\mathrm{MN}}-\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}\right)$

$=2\overrightarrow{\mathrm{HK}}\left(\overrightarrow{{\mathrm{N}}^{\text{'}}\mathrm{N}}+\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}\right)$

$=2\overrightarrow{\mathrm{HK}}.\overrightarrow{{\mathrm{N}}^{\text{'}}\mathrm{N}}+2\overrightarrow{\mathrm{HK}}.\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}=2.0+2.0=0$

(do d là đường trung trực của MM’, NN’ nên $\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}\perp \overrightarrow{\mathrm{HK}};\overrightarrow{{\mathrm{NN}}^{\text{'}}}\perp \overrightarrow{\mathrm{HK}}$).

Suy ra ${\overrightarrow{\mathrm{MN}}}^2={\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}}^2$

Do đó MN = M’N’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Vậy f là một phép dời hình.

Lời giải Chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình hay, chi tiết khác:

• Khởi động trang 6 Chuyên đề Toán 11: Bức tranh trang trí trong hình bên trước khi tô màu thực chất được tạo ra từ một hình mũi tên ....

• Khám phá 1 trang 6 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d và điểm M. Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M ....

• Thực hành 1 trang 7 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ứng mỗi điểm M(x;y) quy tắc f xác định điểm M' ....

• Khám phá 2 trang 7 Chuyên đề Toán 11: Khi một ô tô dời chỗ đậu từ vị trí M đến M' khoảng cách giữa hai trục bánh xe có thay đổi không ....

• Thực hành 2 trang 8 Chuyên đề Toán 11: Cho điểm O trong mặt phẳng. Ta định nghĩa một phép biến hình h như sau: Với mỗi điểm M khác O chọn M’ = h(M) ....

• Vận dụng trang 8 Chuyên đề Toán 11: Một người đã vẽ xong bức tranh một con thiên nga đang bơi trên mặt hồ (đường thẳng d) (Hình 7a) ....

• Khám phá 3 trang 8 Chuyên đề Toán 11: Trong mỗi trường hợp dưới đây, cho f là một phép dời hình. a) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự (B nằm giữa A và C) ....

• Thực hành 3 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Gọi A’B’C’D’ là ảnh của hình chữ nhật ABCD qua phép biến hình được diễn tả trong Vận dụng ....

• Bài 1 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Cho đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn (C) và cắt (C) tại A và B. Tìm ảnh của đường tròn (C) ....

• Bài 3 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Cho phép dời hình f biến hình vuông ℋ có cạnh bằng 2 cm thành hình vuông ℋ ’. Tìm diện tích của ℋ ’ ....

• Bài 4 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây: – Phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(–x; –y) ....

• Bài 5 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình h biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(x; y), trong đó ....