Bài 5 trang 10 Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình h biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(x; y), trong đó

Giải Chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình h biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(x; y), trong đó

Hãy chứng minh h là một phép dời hình.

Lời giải:

Lấy hai điểm bất kì M(x₁; y₁) và N(x₂; y₂).

Suy ra $\mathrm{MN}=\sqrt{{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)}^2+{\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)}^2}$.

Ta có ảnh của M, N qua phép biến hình h là ${\mathrm{M}}^{\text{'}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_1-\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_1;\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_1+\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_1\right)$ và ${\mathrm{N}}^{\text{'}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_2;\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_2+\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_2\right)$

Khi đó

${\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_1+\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_1\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_2+\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_1-\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_1\right)}^2}$

$=\sqrt{\frac{1}{2}{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{y}}_1\right)}^2+\frac{1}{2}{\left({\mathrm{x}}_2+{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{y}}_1\right)}^2}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{{\left[\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)-\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)\right]}^2+{\left[\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)+\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)\right]}^2}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{2{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)}^2+2{\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)}^2}$ (khai triển bình phương)

$=\sqrt{{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)}^2+{\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)}^2}$

= MN

Vậy h là một phép dời hình.

Lời giải Chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình hay, chi tiết khác:

• Khởi động trang 6 Chuyên đề Toán 11: Bức tranh trang trí trong hình bên trước khi tô màu thực chất được tạo ra từ một hình mũi tên ....

• Khám phá 1 trang 6 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d và điểm M. Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M ....

• Thực hành 1 trang 7 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ứng mỗi điểm M(x;y) quy tắc f xác định điểm M' ....

• Khám phá 2 trang 7 Chuyên đề Toán 11: Khi một ô tô dời chỗ đậu từ vị trí M đến M' khoảng cách giữa hai trục bánh xe có thay đổi không ....

• Thực hành 2 trang 8 Chuyên đề Toán 11: Cho điểm O trong mặt phẳng. Ta định nghĩa một phép biến hình h như sau: Với mỗi điểm M khác O chọn M’ = h(M) ....

• Vận dụng trang 8 Chuyên đề Toán 11: Một người đã vẽ xong bức tranh một con thiên nga đang bơi trên mặt hồ (đường thẳng d) (Hình 7a) ....

• Khám phá 3 trang 8 Chuyên đề Toán 11: Trong mỗi trường hợp dưới đây, cho f là một phép dời hình. a) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự (B nằm giữa A và C) ....

• Thực hành 3 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Gọi A’B’C’D’ là ảnh của hình chữ nhật ABCD qua phép biến hình được diễn tả trong Vận dụng ....

• Bài 1 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Cho đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn (C) và cắt (C) tại A và B. Tìm ảnh của đường tròn (C) ....

• Bài 2 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M ....

• Bài 3 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Cho phép dời hình f biến hình vuông ℋ có cạnh bằng 2 cm thành hình vuông ℋ ’. Tìm diện tích của ℋ ’ ....

• Bài 4 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây: – Phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(–x; –y) ....