Vận dụng trang 8 Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo


Một người đã vẽ xong bức tranh một con thiên nga đang bơi trên mặt hồ (đường thẳng d) (Hình 7a). Người đó muốn vẽ bóng của con thiên nga đó xuống mặt nước (như Hình 7b) bằng cách gấp tờ giấy theo đường thẳng d và đồ theo hình con thiên nga trên nửa tờ giấy còn lại. Chứng tỏ rằng đây là một phép dời hình.

Giải Chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình - Chân trời sáng tạo

Vận dụng trang 8 Chuyên đề Toán 11: Một người đã vẽ xong bức tranh một con thiên nga đang bơi trên mặt hồ (đường thẳng d) (Hình 7a). Người đó muốn vẽ bóng của con thiên nga đó xuống mặt nước (như Hình 7b) bằng cách gấp tờ giấy theo đường thẳng d và đồ theo hình con thiên nga trên nửa tờ giấy còn lại. Chứng tỏ rằng đây là một phép dời hình.

Vận dụng trang 8 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lời giải:

Ta đặt f là phép biến hình biến con thiên nga trong bức tranh thành bóng của con thiên nga đó qua đường thẳng d (mặt hồ).

Chọn M’ = f(M) hay M’ là điểm đối xứng của M qua d.

Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

Gọi H là giao điểm của MM’ và d.

Khi đó H là trung điểm của MM’ và MM’ ⊥ d tại H.

Trên hình 7b, chọn điểm N tùy ý trên con thiên nga đã vẽ trên mặt hồ (như hình vẽ).

Vận dụng trang 8 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chọn N’ = f(N) hay N’ là điểm đối xứng của N qua d.

Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng NN’.

Gọi K là giao điểm của NN’ và d.

Khi đó K là trung điểm của NN’ và NN’ ⊥ d tại K.

Ta có MN+M'N'=MH+HK+KN+M'H+HK+KN'

=MH+M'H+KN+KN'+2HK

=0+0+2HK (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)

=2HK

Lại có MNM'N'=HNHMHN'HM'

=HNHMHN'+HM'

=HNHN'+HM'HM=N'N+MM'

Ta có MN2M'N'2=MN+M'N'MNM'N'=2HKN'N+MM'

=2HK.N'N+2HK.MM'=2.0+2.0=0 (do MM’ ⊥ d và NN’ ⊥ d).

Suy ra MN2=M'N'2

Do đó MN = M’N’.

Vì vậy phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Lời giải Chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: