Bài 4 trang 19 Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo
Giải Chuyên đề Toán 11 Bài 3: Phép đối xứng trục - Chân trời sáng tạo
Bài 4 trang 19 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 và đường thẳng ∆: 2x + 3y + 4 = 0.
a) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục Oy.
c) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục d: x – y – 3 = 0.
Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm I(3; 4), bán kính R = 5.
a)
⦁ Gọi (C1) là ảnh của (C) qua ĐOx, khi đó (C1) có tâm I1 là ảnh của I(3; 4) ĐOx và bán kính R1 = R = 5.
Ta có I1 = ĐOx(I).
Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn II1
Do đó hai điểm I(3; 4) và I1 có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ I1(3; –4).
Vậy ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx là đường tròn (C1) có phương trình là:
(x – 3)2 + (y + 4)2 = 25.
⦁ Trục Ox: y = 0.
Với y = 0, ta có 2x + 3.0 + 4 = 0 ⇔ x = –2.
Suy ra giao điểm của ∆ và trục Ox là điểm P(–2; 0).
Khi đó P = ĐOx(P).
Chọn M(1; –2) ∈ ∆.
Gọi M1 và ∆1 theo thứ tự là ảnh của M và ∆ qua ĐOx.
Ta thấy Ox là đường trung trực của đoạn MM1.
Do đó hai điểm M(1; –2) và M1 có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ M1(1; 2).
Ta có .
Đường thẳng ∆1 có vectơ chỉ phương .
Suy ra ∆1 có vectơ pháp tuyến .
Vậy đường thẳng ∆1 đi qua P(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
2(x + 2) – 3(y – 0) = 0 hay 2x – 3y + 4 = 0.
b)
⦁ Gọi (C2) là ảnh của (C) qua ĐOy, khi đó (C2) có tâm I2 là ảnh của I(3; 4) qua ĐOy và bán kính R2 = R = 5.
Ta có I2 = ĐOy(I).
Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn II2.
Do đó hai điểm I(3; 4) và I2 có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ I2(–3; 4).
Vậy ảnh của đường tròn (C) qua ĐOy là đường tròn (C2) có phương trình là:
(x + 3)2 + (y – 4)2 = 25.
⦁ Trục Oy: x = 0.
Với x = 0, ta có 2.0 + 3y + 4 = 0 ⇔ .
Suy ra giao điểm của ∆ và trục Oy là điểm .
Khi đó Q = ĐOy(Q).
Chọn M(1; –2) ∈ ∆.
Gọi M2 và ∆2 theo thứ tự là ảnh của M và ∆ qua ĐOy.
Ta thấy Oy là đường trung trực của đoạn MM2.
Do đó hai điểm M(1; –2) và M2 có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ M2(–1; –2).
Ta có .
Đường thẳng ∆2 có vectơ chỉ phương .
Suy ra ∆2 có vectơ pháp tuyến .
Vậy đường thẳng ∆2 đi qua M2(–1; –2) và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
2(x + 1) – 3(y + 2) = 0 hay 2x – 3y – 4 = 0.
c)
⦁ Gọi (C3) là ảnh của (C) qua Đd, khi đó (C2) có tâm I3 là ảnh của I(3; 4) qua Đd và bán kính R3 = R = 5.
Ta có I3 = Đd(I).
Suy ra d là đường trung trực của đoạn II3 nên II3 ⊥ d tại trung điểm của II3.
Mà đường thẳng d: x – y – 3 = 0 có vectơ pháp tuyến .
Suy ra đường thẳng II3 có vectơ chỉ phương .
Do đó đường thẳng II3 có vectơ pháp tuyến .
Vì vậy đường thẳng II3 đi qua điểm I(3; 4) và nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
1(x – 3) + 1(y – 4) = 0 ⇔ x + y – 7 = 0.
Gọi H là giao điểm của II3 và đường thẳng d.
Suy ra tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình
Do đó tọa độ H(5; 2).
Ta có H là trung điểm II3.
Suy ra
Do đó tọa độ I3(7; 0).
Vậy ảnh của đường tròn (C) qua Đd là đường tròn (C3) có phương trình là:
(x – 7)2 + y2 = 25.
⦁ Gọi R là giao điểm của ∆ và d.
Suy ra tọa độ R thỏa mãn hệ phương trình:
Do đó tọa độ R(1; –2).
Khi đó R = Đd(R).
Chọn N(–2; 0) ∈ ∆: 2x + 3y + 4 = 0.
Gọi N’ và ∆3 theo thứ tự là ảnh của N và ∆ qua Đd.
Ta thấy d là đường trung trực của đoạn NN’.
Mà đường thẳng d: x – y – 3 = 0 có vectơ pháp tuyến .
Suy ra đường thẳng NN’ có vectơ chỉ phương .
Do đó đường thẳng NN’ có vectơ pháp tuyến .
Vì vậy đường thẳng NN’ đi qua N(–2; 0) và nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
1(x + 2) + 1(y – 0) = 0 ⇔ x + y + 2 = 0.
Gọi K là giao điểm của NN’ và đường thẳng d.
Suy ra tọa độ K thỏa mãn hệ phương trình:
Do đó tọa độ .
Ta có K là trung điểm NN’.
Suy ra
Do đó tọa độ N’(3; –5).
Với R(1; –2), ta có .
Đường thẳng ∆3 có vectơ chỉ phương .
Suy ra ∆3 có vectơ pháp tuyến .
Vậy đường thẳng ∆3 đi qua N’(3; –5) và nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
3(x – 3) + 2(y + 5) = 0 hay 3x + 2y + 1 = 0.
Lời giải Chuyên đề Toán 11 Bài 3: Phép đối xứng trục hay, chi tiết khác: