Bài 2 trang 27 Chuyên đề Toán 12
Nhu cầu canxi tối thiểu cho một người đang độ tuổi trưởng thành trong một ngày là 1 305 mg. Trong 1 lạng (100 g) đậu nành có 165 mg canxi, 1 lạng thịt có 15 mg canxi (Nguồn: https://hongngochospital.vn). Gia đình chị Thảo có bốn người đang độ tuổi trưởng thành, dự định ăn một ngày tối thiểu 3 lạng đậu nành và 7 lạng thịt, nhưng ăn không quá 4 kg cả đậu nành và thịt. Giá tiền đậu nành là 50 000 đồng/kg, giá tiền thịt là 85 000 đồng 1 kg. Hỏi gia đình chị Thảo cần mua bao nhiêu lạng mỗi loại đậu nành và thịt sao cho chi phí để mua hai loại thực phẩm đó là nhỏ nhất?
Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính - Cánh diều
Bài 2 trang 27 Chuyên đề Toán 12: Nhu cầu canxi tối thiểu cho một người đang độ tuổi trưởng thành trong một ngày là 1 305 mg. Trong 1 lạng (100 g) đậu nành có 165 mg canxi, 1 lạng thịt có 15 mg canxi (Nguồn: https://hongngochospital.vn). Gia đình chị Thảo có bốn người đang độ tuổi trưởng thành, dự định ăn một ngày tối thiểu 3 lạng đậu nành và 7 lạng thịt, nhưng ăn không quá 4 kg cả đậu nành và thịt. Giá tiền đậu nành là 50 000 đồng/kg, giá tiền thịt là 85 000 đồng 1 kg. Hỏi gia đình chị Thảo cần mua bao nhiêu lạng mỗi loại đậu nành và thịt sao cho chi phí để mua hai loại thực phẩm đó là nhỏ nhất?
Lời giải:
Đổi 1 lạng = 0,1 kg; 3 lạng = 0,3 kg và 7 lạng = 0,7 kg.
Gọi x là số kg đậu nành và y là số kg thịt cần mua.
Chi phí mua hai loại thực phẩm đó là: T = 50 000x + 85 000y (đồng).
Ta có, trong 1 lạng (100 g) đậu nành có 165 mg canxi, 1 lạng thịt có 15 mg canxi.
Tức là trong 1 kg đậu nành có 1 650 mg canxi, 1 kg thịt có 150 mg canxi.
Khi đó, lượng canxi có trong x kg đậu nành và y kg thịt là: 1 650x + 150y (mg).
Vì nhu cầu canxi tối thiểu cho một người đang độ tuổi trưởng thành trong một ngày là 1 305 mg mà gia đình chị Thảo có bốn người nên ta có: 1 650x + 150y ≥ 4 . 1 305 hay 55x + 5y ≥ 174.
Vì gia đình chị Thảo dự định ăn một ngày tối thiểu 3 lạng đậu nành và 7 lạng thịt, nhưng ăn không quá 4 kg cả đậu nành và thịt nên ta có thể viết dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y là các số thực):
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 50 000x + 85 000y khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình (I’).
Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I’).
Miền nghiệm là miền tam giác ABC với tọa độ các đỉnh A(3,08; 0,92), B(3,3; 0,7), C(3,1; 0,7) (hình vẽ).
Bước 2. Tính giá trị của biểu thức T(x; y) = 50 000x + 85 000y tại các đỉnh của tam giác này:
T(3,08; 0,92) = 232 200; T(3,3; 0,7) = 224 500; T(3,1; 0,7) = 214 500.
Bước 3. Ta đã biết biểu thức T = 50 000x + 85 000y đạt giá trị nhỏ nhất tại cặp số thực (x; y) là tọa độ một trong các đỉnh của tam giác ABC. So sánh ba giá trị thu được của T ở Bước 2, ta được giá trị nhỏ nhất cần tìm là T(3,1; 0,7) = 214 500.
Bước 4. Vì 3,1 và 0,7 là các số dương nên cặp số (x; y) = (3,1; 0,7) là nghiệm của bài toán (I).
Vậy gia đình chị Thảo cần mua 3,1 kg (tức 31 lạng) đậu nành và 0,7 kg (tức 7 lạng) thịt để chi phí để mua hai loại thực phẩm đó là nhỏ nhất.
Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính hay, chi tiết khác: