Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu
Ôn tập chương 4 (Bài tập trắc nghiệm)
Bài 12 trang 107 Toán 10: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, chứng minh rằng
b2x2 – (b2 + c2 – a2) + c2 > 0, ∀x.
Trả lời
Ta chỉ cần chứng minh tam thức:
b2x2 – (b2 + c2 – a2) + c2 có biệt số Δ < 0, ∀ x.
Ta có: Δ = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2 = (b2 + c2 – a2 + 2bc) (b2 + c2 – a2 - 2bc)
= [(b + c)2 – a2] [(b - c)2 – a2] (1)
Mà a, b, c là ba cạnh của tam giác nên
a + b > c ⇒ (b + c)2 – a2 > 0
Do đó, ta chỉ cần chứng minh (b - c)2 – a2 < 0
Ta có ((b - c)2 – a2 = ( b – c + a)(b – c – a) (2)
Mà a +b > c và b < a + c nên (2) cho (b - c)2 – a2 < 0
Vậy, Δ < 0,∀x.
