Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lầ lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là

Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Bài 3 trang 60 Toán 11: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lầ lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN.

a) Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD)

b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’. Chứng minh B, M’, A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N

c) Chứng minh GA = 3GA’

Trả lời

a) Ta có (ANB) ∩ (BCD) = BN

Trong mặt phẳng (ANB) gọi A’ = AG ∩ BN

Khi đó:

⇒ A’ = AG ∩ (BCD)

b) Do M ∈ (ABM) và Mx // AA’ ⊂ (ABN) ⇒ Mx ⊂ (ABM) ⇒ trong mặt phẳng (ABN), Mx ∩ BN = M’

Như vậy M’, A’ nằm trên BN, do đó B, M’, A’ thẳng hàng

Xét ΔABA’, ta có: MM’ // AA’ và M là trung điểm của AB ⇒ MM’ là đường trung bình của ΔABA’

⇒ M’ là trung điểm của BA’ ⇒ BM’ = M’A’    (1)

Xét ΔMNM’, ta có: GA’ // MM’ và G là trung điểm của MN ⇒ GA’ là đường trung bình của ΔMNM’

⇒ A’ là trung điểm của NM’ ⇒ A’N = M’A’    (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BM’ = M’A’ = A’N

c) Ta có A’G là đường trung bình của ΔMNM’ ⇒ MM’ = 2GA’

MM’ là đường trung bình của Δ ABA’ ⇒ AA’ = 2MM’

⇒ AA’ = 4GA’ ⇔ GA + GA’ = 4GA’ ⇒ GA = 3GA’.