Bài 30 trang 116 Toán 9 Tập 1

Luyện tập (trang 116)

Bài 30 trang 116 Toán 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó ra hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:

a) ∠COD = 90°

b) CD = AC + BD

c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nữa đường tròn.

Bài giải:

Theo đề bài ta có:

Ax, By vuông góc với AB tại A và B.

⇒ Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

b) CD = AC + BD Cộng (3) và (4) vế theo vế:

    AC + BD = CM + BD = CD

Vậy CD = AC + BD

c) AC.BD không đổi:

CD tiếp tuyến của (O), M là tiếp điểm , ΔCOD vuông ở O (cmt), đường cao OM

⇒ OM² = CM.MD

Từ (3) và (4) suy ra:

OM² = AC.BD

Mà OM là bán kính của nửa đường tròn nên độ dài của OM không khi M di chuyển trên nửa đường tròn.

Vậy AC.BD: không đổi (không phụ thuộc vào vị trí của M trên nửa đường tròn ngoài hai điểm A và B).