Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = −x^3 + 3x + 1. Chỉ ra phép biến hình biến (C)

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giải bài 61 trang 36 SBT Giải tích 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số giúp học sinh biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12.

Bài 1.61 trang 36 Sách bài tập Giải tích 12: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

y = −x³ + 3x + 1

b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C’) của hàmsố:

y = (x + 1)³ − 3x − 4

c) Dựa vào đồ thị (C’), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

(x + 1)³ = 3x + m

d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C’), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng

Lời giải:

a)

b) Tịnh tiến (C) song song với trục Ox sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị (C1) của hàm số.

y = f(x) = −(x + 1)³ + 3(x + 1) + 1 hay f(x) = −(x + 1)³ + 3x + 4 (C₁)

Lấy đối xứng (C₁) qua trục Ox, ta được đồ thị (C’) của hàm số y = g(x) = (x + 1)³ − 3x – 4

c) Ta có: (x + 1)³ = 3x + m (1)

⇔ (x + 1)³ − 3x – 4 = m – 4

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đường :

y = g(x) = (x + 1)³ − 3x – 4 (C’) và y = m – 4 (d₁)

Từ đồ thị, ta suy ra:

    +) m > 5 hoặc m < 1: phương trình (1) có một nghiệm.

    +) m = 5 hoặc m = 1 : phương trình (1) có hai nghiệm.

    +) 1 < m < 5 , phương trình (1) có ba nghiệm.

d) Vì (d) vuông góc với đường thẳng:

nên ta có hệ số góc bằng 9.

Ta có: g′(x) = 3(x + 1)² – 3

g′(x) = 9 ⇔

Có hai tiếp tuyến phải tìm là:

y – 1 = 9(x – 1) ⇔ y = 9x – 8;

y + 3 = 9(x + 3) ⇔ y = 9x + 24.