Bài 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101 trang 151 SBT Toán 7 tập 1
Bài 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101 trang 151 SBT Toán 7 tập 1
Bài 93: Cho tam giác cân tại A. Kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A
Lời giải:
Xét hai tam giác vuông ADB và ADC, ta có:
∠(ADB) = ∠(ADC) = 90°
Ad cạnh chung
Suy ra: ΔADB = ΔADC(cạnh huyền, cạnh góc vuông)
⇒ ∠(BAD) = ∠(CAD) (hai góc tương ứng)
Vậy ADI là tia phân giác ∠(BAC)
Bài 94: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng Ak là tia phân giác của góc A.
Lời giải:
Xét hai tam giác vuông ADB và AEC, ta có:
∠(ADB) = ∠(AEC) = 90°
AB = AC (gt)
∠(DAB) = ∠(EAC)
Suy ra: ΔADB = ΔAEC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
⇒ AD = AE (hai cạnh tương ứng)
xét hai tam giác vuông ADK và AEK. Ta có:
∠(ADK) = ∠(AEK) = 90°
AD = AE (chứng minh trên)
AK cạnh chung
Suy ra: ΔADK = ΔAEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
⇒∠(DAK) = ∠(EAK) (hai góc tương ứng)
Vậy AK là tia phân giác của góc BAC
Bài 95: Tam giác ABC có M là trung điểm BC,AM là tia phân giác góc A. Kẻ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC. Chứng minh rằng:
a. MH = MK
b. ∠B =∠C
Lời giải:
Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có:
∠(AHM) = ∠(AKM) = 90°
Cạnh huyền AM chung
∠(HAM) = ∠(KAM) (gt)
⇒ ΔAHM = ΔAKM (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có:
∠(MHB) = ∠(MKC) = 90°
MH = MK (chứng minh trên)
MC = MB (gt)
⇒ ΔMHB = ΔMKC (cạnh huyền, góc nhọn)
∠B = ∠C (hai góc tương ứng)
Bài 96: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau ở I. chứng minh rằng AI là tia phân giác góc A.
Lời giải:
Ta có: AB = AC (gt) (1); AM = 1/2 AB (gt) (2);
AN = 1/2 AC (gt) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AM = AN
Xét hai tam giác vuông AMI và ANI, ta có:
∠(AMI) = ∠(ANI) = 90°
AM = AN (chứng minh trên)
AI cạnh huyền chung
⇒ ΔAMI = ΔANI (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: ∠(A1 ) = ∠(A2) (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác của ∠(BAC)
Bài 97: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chứng cắt nhau tại D. chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A.
Lời giải:
Xét hai tam giác vuông ABD và ACD, ta có:
∠(ABD) = ∠(ACD) = 90°
Cạnh huyền AD chung
AB = AC
⇒ ΔABD = ΔACD (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: ∠(A1 ) = ∠(A2) (hai góc tương ứng)
Suy ra AD là tia phân giác góc A
Bài 98: Tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.
Lời giải:
Kẻ MH ⊥ AB, MK ⊥ AC
Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có:
∠(AHM) = ∠(AKM) = 90°
Cạnh huyền AM chung
∠(HAM) = ∠KAM) (gt)
⇒ ΔABD = ΔACD (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có:
∠(MHB) = ∠(MKC) = 90°
MB = MC
MH = MK
⇒ ΔMHB = ΔMKC (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: ∠B = ∠C (hai góc tương ứng)
Vậy tam giác ABC cân tại A
Bài 99: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tai BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông với AD, kẻ CK vuông góc với AE. Chứng minh rằng:
BH = CK
ΔABH = ΔACK
Lời giải:
Vì ΔABC cân tại A nên∠(ABC) = ∠(ACB) (tính chất tam giác cân)
Ta có: ∠(ABC) + ∠(ABD) = 180° (hai góc kề bù)
∠(ACB) + ∠(ACE) = 180°(hai góc kề bù)
Suy ra: ∠(ABD) = ∠(ACE)
Xét ΔABD và ΔACE, ta có:
AB = AC (gt)
∠(ABD) = ∠(ACE) (chứng minh trên)
BD = CE (gt)
Suy ra: ΔABD = ΔACE (c.g.c)
⇒∠D = ∠E (hai góc tương ứng)
Xét hai tam giác vuông ΔBHD và ΔCKE, ta có:
∠(BHD) = ∠(CKE)
BD = CE (gt)
∠D = ∠E (chứng minh trên)
Suy ra: ΔBHD = ΔCKE (c.g.c)
Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng)
Xét ΔAHB và ΔACK, ta có:
AB = AC (gt)
∠(ABD) =∠(ACE) = 90°
BH = CK
Suy ra: ΔABH = ΔACK (cạnh huyền, góc nhọn)
Bài 100: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cát nhau tại I. chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
Hướng dẫn: từ I, kẻ các đường vuông góc với các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải:
Kẻ: ID ⊥ AB, IE ⊥ BC, IF ⊥ AC
Xét hai tam giác vuông ΔIBD và ΔIEB, ta có:
∠(DBI) = ∠(EBI) (gt)
∠(IDB) = ∠(IEB) = 90°
BI cạnh chung
Suy ra: ΔIDB = ΔIEB(cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: ID = IE ( hai cạnh tương ứng) (1)
Xét hai tam giác vuông ΔIEC và ΔIFC, ta có:
∠(ECI) = ∠(FCI)
∠(IEC) = ∠(IFC) = 90°
CI cạnh huyền chung
Suy ra: ΔIEC = ΔIFC (cạnh huyền góc nhọn)
Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ID = IF
Xét hai tam giác vuông ΔIDA và ΔIFA, ta có:
ID = IF
∠(IDA) =∠(IFA) = 90°
AI cạnh huyền chung
Suy ra: ΔIDA = ΔIFA (cạnh huyền.cạnh góc vuông)
Suy ra: ∠(DAI) = ∠(FAI) (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác góc A
Bài 101: Cho tam giác AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK.
Lời giải:
Xét ΔBMI và ΔCMI, ta có:
∠(BMI) = ∠(CMI) = 90° (gt)
BM = CM
MI cạnh chung
Suy ra: ΔBMI = ΔCMI (c.g.c)
Suy ra: IB = IC ( hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông ΔIHA và ΔIKA, ta có:
∠(HAI) = ∠(KAI)
∠(IHA) = ∠(IKA) = 90°
AI cạnh huyền chung
Suy ra: ΔIHA = ΔIKA (cạnh huyền góc nhọn)
Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông ΔIHB và ΔIKC, ta có:
IB = IC
∠(IHB) = ∠(IKC) = 90°
IH = IK (chứng minh trên)
Suy ra: ΔIHB = ΔIKC(cạnh huyền.cạnh góc vuông)
Suy ra: BH = CK(hai cạnh tương ứng)
