Bài 25, 26 trang 67 SBT Toán 9 Tập 1

---

Bài 25, 26 trang 67 SBT Toán 9 Tập 1

Bài 25 trang 67 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: a. Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1)

b. Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1; -2)

c. Vẽ đồ thị của các hàm số với hệ số góc tìm được ở câu a, b trên cùng một mặt phẳng tọa độ và chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.

Lời giải:

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng y = ax + b

a. Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm A(2; 1) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: 1 = a.2 ⇔ a = 1/2

Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1) là a = 1/2

b. Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm B(1; -2) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: -2 = a.1 ⇔ a = -2

Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1; -2) là a = -2

c. Với a = 1/2 ta có hàm sô: y = 1/2.x

Với a = -2 ta có hàm số: y = -2x

*Vẽ đồ thị hàm số y = 1/2.x

Cho x = 0 thì y = 0. Ta có: O(0; 0)

Cho x = 2 thì y = 1. Ta có: A(2; 1)

Đồ thị hàm số y = 1/2.x đi qua O và A

*Vẽ đồ thị hàm số y = -2x

Cho x = 0 thì y = 0. Ta có: O(0; 0)

Cho x = 1 thì y = -2. Ta có: B(1; -2)

Đồ thị hàm số y = -2x đi qua O và B.

*Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B trên Ox và Oy.

Ta có hai tam giác AA’O và BB’O có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau.

Vậy OA ⊥ OB hay hai đường thẳng y = 1/2.x và y = -2x vuông góc với nhau.

Bài 26 trang 67 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đường thẳng:

y = ax + b (d)

y = a’x + b’ (d’)

Chứng minh rằng: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hai đường thẳng (d) và (d’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a.a’ = -1

Lời giải:

Qua gốc tọa độ, kẻ đường thẳng y = ax // (d) và y = a’x // (d’)

*Chứng minh (d) vuông góc với (d’) thì a.a’ = -1

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0

Khi đó góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y = ax là góc nhọn.

Suy ra góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y = a’x là góc tù (vì các góc tạo bởi đường thẳng y = ax và đường thẳng y = a’x với tia Ox hơn kém nhau 90^o).

Suy ra: a’ < 0

Mà đường thẳng y = ax đi qua A(1; a), đường thẳng y = a’x đi qua B(1; a’) nên đoạn AB vuông góc với Ox tại điểm H có hoành độ bằng 1.

Vì (d) ⊥ (d’) nên hai đường thẳng y = ax và y = a’x vuông góc với nhau. Suy ra: góc(AOB) = 90^o

Tam giác vuông AOB có OH ⊥ AB. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: OH² = HA.HB

Hay: a.|a’| = 1 ⇔ a.(-a’) = 1 ⇔ a.a’ = -1

Vậy nếu (d) vuông góc với (d’) thì a.a’ = -1

*Chứng minh a.a’ = -1 thì (d) vuông góc với (d’)

Ta có: a.a’ = -1 ⇔ a.|a’| = 1 hay HA.HB = OH²

Suy ra OA ⊥ OB hay hai đường thẳng y = ax và y = a’x vuông góc với nhau hay (d) ⊥ (d’)