Bài 48, 49, 50, 51 trang 164 SBT Toán 9 Tập 1

---

Bài 48, 49, 50, 51 trang 164 SBT Toán 9 Tập 1

Bài 48 trang 164 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm)

a. Chứng minh rằng OA ⊥ MN

b. Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC // AO

c. Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm

Lời giải:

a. Ta có: AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác AMN cân tại A

Mặt khác AO là đường phân giác của góc MAN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AO là đường cao của tam giác AMN (tính chất tam giác cân)

Vậy OA ⊥ MN.

b. Tam giác MNC nội tiếp trong đường tròn (O) có NC là đường kính nên góc (CMN) = 90^o

Suy ra: NM ⊥ MC

Mà OA ⊥ MN (chứng minh trên)

Suy ra: OA // MC

c. Ta có: AN ⊥ NC (tính chất tiếp tuyến)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AON ta có :

AO² = AN² + ON²

Suy ra : AN² = AO² – ON² = 5² – 3² = 16

AN = 4 (cm)

Suy ra: AM = AN = 4 (cm)

Gọi H là giao điểm của AO và MN

Ta có: MH = NH = MN/2 (tính chất tam giác cân)

Tam giác AON vuông tại N có NH ⊥ AO. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OA.NH = AN.ON ⇒ NH = (AN.ON)/AO = (4.3)/5 = 2,4 (cm)

MN = 2.NH = 2.2,4 = 4,8 (cm)

Bài 49 trang 164 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MD, ME với đường tròn (D, E là các tiếp điểm). Qua I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt MD và ME theo thứ tự ở P và Q. Biết MD = 4cm, tính chu vi tam giác MPQ

Lời giải:

Ta có: MD = ME (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

PD = PI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

QI = QE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Chu vi tam giác APQ bằng:

MP + PQ + QM

= MP + PI + IQ + QM

= MP + PD + QM + QE

= MD + ME

= 2.MD

= 2.4 = 8 (cm)

Bài 50 trang 164 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A nằm trên tia Ox. Dựng đường tròn (I) đi qua A và tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy

Lời giải:

* Phân tích

Giả sử đường tròn (I) dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán

- Đường tròn (I) tiếp xúc với Ox và Oy nên điểm I nằm trên tia phân giác của góc xOy

- Đường tròn (I) tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường vuông góc với Ox kẻ từ A

Vậy I là giao điểm của tia phân giác góc xOy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A

* Cách dựng

- Dựng tia phân giác của góc xOy

- Dựng đường thẳng vuông góc với Ox tại A cắt tia phân giác của góc xOy tại I

- Dựng đường tròn (I; IA)

* Chứng minh

Ta có: Ox ⊥ IA tại A nên Ox là tiếp tuyến của (I)

I nằm trên tia phân giác của góc xOy nên I cách đều hai cạnh Ox, Oy. Khi đó khoảng cách từ I đến Oy bằng IA nên Oy cũng là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Vậy đường tròn (I) đi qua A và tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy.

* Biện luận

Vì góc xOy nhỏ hơn 180^o nên góc tạo bởi một cạnh của góc với tia phân giác là góc nhọn. Khi đó đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia phân giác của góc xOy.

Bài 51 trang 164 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N.

a. Tính số đo góc MON

b. Chứng minh rằng MN = AM + BN

c. Chứng minh rằng AM.BN = R² (R là bán kính của nửa đường tròn)

Lời giải:

a. Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với đường tròn (O). Nối OI

Ta có: ∠(AOI) + ∠(BOI) = 180^o (hai góc kề bù)

OM là tia phân giác của góc AOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

ON là tia phân giác của góc BOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra : OM ⊥ ON (tính chất hai góc kề bù)

Vậy ∠(MON) = 90^o

b. Ta có: MA = MI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

NB = NI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà: MN = MI + IN

Suy ra: MN = AM + BN

c. Tam giác OMN vuông tại O có OI ⊥ MN (tính chất tiếp tuyến)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OI² = MI.NI

Mà: MI = MA, NI = NB (chứng minh trên)

Suy ra : AM.BN = OI² = R²