Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC

Bài 1: Mặt cầu, Khối cầu

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 9 trang 46 sgk Hình Học 12 nâng cao được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp bạn biết cách làm bài tập môn Toán 12.

Bài 9 (trang 46 sgk Hình Học 12 nâng cao): Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh Sa, SB, SC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng các điểm S, G, I thẳng hàng, trong đó G là trọng tâm tam giác ABC và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Lời giải:

Gọi J là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB vuông ở đỉnh S nên JS = JA = IB (hình vẽ bên)

Gọi Δ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB) tại J thì mọi điểm của đường Δ đều cách 3 điểm S, A, B. Bởi vậy nếu gọi I là giao điểm của Δ với mặt phẳng trung trực của đoạn SC thì I các đều 4 điểm S, A, B, C.

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I, bán kính R = IA.

Diện tích mặt cầu bằng: S = 4πR²=π(a²+b² + c²)

+ Do SC// IJ nên 4 điểm S, C, I và J đồng phẳng.

Trong mp (SCIJ), gọi SI cắt CJ tại điểm G.

Áp dụng hệ quả định lí ta - let ta có:

Lại có: CJ là đường trung tuyến nên G là trọng tâm tam giác ABC.