Một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Chứng minh rằng hình chóp

Toán lớp 12 Ôn tập chương 2 Hình học 12

Bài 3 (trang 50 SGK Hình học 12): Một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Chứng minh rằng hình chóp đó nội tiếp được trong một mặt cầu (các đỉnh của hình chóp nằm trên mặt cầu).

Lời giải:

Cho hình chóp S.A₁A₂A₃...A_n có các cạnh bên bằng nhau.

Gỉa sử I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy.

Ta có: SA₁ = SA₂ = SA₃ = ... = SA_n

Suy ra ΔSIA₁= ΔSIA₂ = ΔSIA₃ = ... = ΔSIA_n

Suy ra IA₁ = IA₂ = IA₃ = ... = IA_n

Đa giác A₁A₂A₃...A_n là một đa giác nội tiếp được trong một đường tròn tâm I bán kính IA, trục SI.

Trong mp(SAI), đường trung trực của SA₁ cắt SI tại O, ta có:

OS = OA₁ (1)

OA₁ = OA₂ = OA₃ = ... = OA_n (2)

Từ (1) và (2) suy ra OS = OA₁ = OA₂ = OA₃ = ... = OA_n

Vậy hình chóp S.A₁A₂A₃...A_n nội tiếp được trong một mặt cầu.