Cho đường thẳng ∆ x=4+t, y=-1+2t và điểm A(2; 1). Hai điểm M, N nằm trên ∆

Cho đường thẳng ∆: và điểm A(2; 1). Hai điểm M, N nằm trên ∆.

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 31 trang 74 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: và điểm A(2; 1). Hai điểm M, N nằm trên ∆.

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho AM=$\sqrt{17}$

b) Tìm tọa độ điểm N sao cho đoạn thẳng AN ngắn nhất.

Lời giải:

a) Do M nằm trên ∆ nên M(4 + t; -1 + 2t).

Suy ra $\overrightarrow{AM}$=(4+t-2;-1+2t-1) = (2+t;-2+2t)

Mà AM = $\sqrt{17}$$\iff \sqrt{{\left(2+t\right)}^2+{\left(-2+2t\right)}^2}=\sqrt{17}$

$\iff$5t²-4t-9=0$\iff$

Vậy M $\left(\frac{29}{5};\frac{13}{5}\right)$ hoặc M(3;-3).

b) Do N nằm trên ∆ nên N(4 + m; -1 + 2m).

Suy ra $\overrightarrow{AN}$=(4+m-2;-1+2m-1) = (2+m;-2+2m)

AN ngắn nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của A lên ∆.

Khi đó $\overrightarrow{AN}$ vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆: $\overrightarrow{u}$=(1;2)

Hay (2 + m). 1 + (-2 + 2m). 2 = 0

$\iff m=\frac{2}{5}$

Suy ra $N\left(\frac{22}{5};\frac{-1}{5}\right)$ .

Vậy $N\left(\frac{22}{5};\frac{-1}{5}\right)$.