Tìm giao các tập nghiệm của hai bất phương trình – 3x^2 + 7x + 10 ≥ 0 và – 2x^2 – 9x + 11 > 0

Tìm giao các tập nghiệm của hai bất phương trình – 3x^2 + 7x + 10 ≥ 0 và – 2x^2 – 9x + 11 > 0.

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 32 trang 57 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm giao các tập nghiệm của hai bất phương trình – 3x^2 + 7x + 10 ≥ 0 và – 2x^2 – 9x + 11 > 0.

Lời giải:

Xét tam thức bậc hai f(x) =  – 3x² + 7x + 10, có a = – 3 < 0 và ∆ = 7² – 4.(– 3).10 = 169 > 0.

Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt là x₁ = – 1 và x₂ = $\frac{10}{3}$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có:

f(x) < 0 khi x ∈ $\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(\frac{10}{3};+\infty \right)$;

f(x) > 0 khi x ∈ $\left(-1;\frac{10}{3}\right)$.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình – 3x² + 7x + 10 ≥ 0 là S₁ = $\left[-1;\frac{10}{3}\right]$.

Xét tam thức bậc hai g(x) =  – 2x² – 9x + 11, có a = – 2 < 0 và ∆ = (– 9)² – 4.(– 2).11 = 169 > 0.

Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt là x₁ = 1 và x₂ = $-\frac{11}{2}$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có:

g(x) < 0 khi x ∈ $\left(-\infty ,-\frac{11}{2}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$;

g(x) > 0 khi x ∈ $\left(-\frac{11}{2};1\right)$.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình – 2x² – 9x + 11 > 0 là S₂ = $\left(-\frac{11}{2};1\right)$.

Đặt S = S₁ ∩ S₂ = $\left[-1;\frac{10}{3}\right]\cap \left(-\frac{11}{2};1\right)$.

Ta có hình vẽ sau:

Vậy giao của hai tập nghiệm của hai bất phương trình trên là S = [ – 1; 1).