Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R SBT Toán 10 Tập 1

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 3 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp các bạn dễ dàng nắm được cách làm bài tập Sách bài tập Toán 10.

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 3 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AM và BN cắt nhau tại I như Hình 5.

a) Chứng minh $\overrightarrow{\text{AI}}.\overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{AI}}.\overrightarrow{\text{AB}}$; $\overrightarrow{\text{BI}}.\overrightarrow{\text{BN}}=\overrightarrow{\text{BI}}.\overrightarrow{\text{BA}}$.

b) Tính $\overrightarrow{\text{AI}}.\overrightarrow{\text{AM}}+\overrightarrow{\text{BI}}.\overrightarrow{\text{BN}}$ theo R.

Lời giải:

a) AB là đường kính nên $\widehat{\text{AMB}}$ = $\widehat{\text{ANB}}$ = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ).

AM ⊥ MB và AN ⊥ NB.

Ta có: $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{AM}}$ = $\overrightarrow{\text{AI}}$ . ($\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{BM}}$) = $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{BM}}$

Mà AI ⊥ BM do AM ⊥ MB nên $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{BM}}$ = 0.

Như vậy $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{AM}}$ = $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{AB}}$ + 0 = $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{AB}}$.

Tương tự ta có: $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{BN}}$ = $\overrightarrow{\text{BI}}$. ( $\overrightarrow{\text{BA}}$ + $\overrightarrow{\text{AN}}$ ) = $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{BA}}$ + $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{AN}}$

Mà BI ⊥ AN do AN ⊥ NB nên $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{AN}}$ = 0.

Như vậy $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{BN}}$ = $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{BA}}$ + 0 = $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{BA}}$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{\text{AI}}.\overrightarrow{\text{AM}}+\overrightarrow{\text{BI}}.\overrightarrow{\text{BN}}$ = $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{BA}}$ = $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{AB}}$ – $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{AB}}$ = $\overrightarrow{\text{AB}}$. ( $\overrightarrow{\text{AI}}$– $\overrightarrow{\text{BI}}$)

= $\overrightarrow{\text{AB}}$. ( $\overrightarrow{\text{AI}}$ + $\overrightarrow{\text{IB}}$) = $\overrightarrow{\text{AB}}$.$\overrightarrow{\text{AB}}$ = $\overrightarrow{\text{AB}}$² = 4R².