Lấy một điểm M tùy ý Chứng minh rằng: I là trung điểm của đoạn thẳng AB SBT Toán 10 Tập 1

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 3 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 3: Tích của một số với một vectơ. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp các bạn dễ dàng nắm được cách làm bài tập Sách bài tập Toán 10.

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 3 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\overrightarrow{\text{MI}}$.

b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MC}}=3\overrightarrow{\text{MG}}$.

Lời giải:

a) Với điểm M bất kì ta có: $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MB}}$ = $\overrightarrow{\text{MI}}$ + $\overrightarrow{\text{IA}}$ + $\overrightarrow{\text{MI}}$ + $\overrightarrow{\text{IB}}$

I là trung điểm đoạn thẳng AB nên $\overrightarrow{\text{IA}}$ + $\overrightarrow{\text{IB}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Khi đó: $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MB}}$ = $\overrightarrow{\text{MI}}$ + $\overrightarrow{\text{IA}}$ + $\overrightarrow{\text{MI}}$ + $\overrightarrow{\text{IB}}$ = 2$\overrightarrow{\text{MI}}$.

Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\overrightarrow{\text{MI}}$.

b) Với điểm M bất kì ta có:

$\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MB}}$ + $\overrightarrow{\text{MC}}$ = $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GA}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}\text{}$ = 3$\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GA}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}\text{}$.

G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{\text{GA}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}\text{}$ = $\overrightarrow{0}$.

Khi đó $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MB}}$ + $\overrightarrow{\text{MC}}$= 3$\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$.

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MC}}=3\overrightarrow{\text{MG}}$.