Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA SBT Toán 10 Tập 1

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 5 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 3: Tích của một số với một vectơ. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp các bạn dễ dàng nắm được cách làm bài tập Sách bài tập Toán 10.

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 5 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow{\text{MN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}$.

Tương tự ta có: $\overrightarrow{\text{PQ}}$ = $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{\text{CE}}$; $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{\text{EA}}$.

Suy ra $\overrightarrow{\text{MN}}$ + $\overrightarrow{\text{PQ}}$ + $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{\text{AC}}$ + $\overrightarrow{\text{CE}}$ + $\overrightarrow{\text{EA}}$) = $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{\text{AE}}$ + $\overrightarrow{\text{EA}}$) = $\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{\text{MN}}$ + $\overrightarrow{\text{PQ}}$ + $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\overrightarrow{0}$

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR ta có: $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{GP}}$ + $\overrightarrow{\text{GR}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Ta lại có:

$\overrightarrow{\text{MN}}$ = $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GN}}$; $\overrightarrow{\text{PQ}}$ = $\overrightarrow{\text{PG}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$; $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\overrightarrow{\text{RG}}$ + $\overrightarrow{\text{GS}}$

Suy ra $\overrightarrow{\text{MN}}$ + $\overrightarrow{\text{PQ}}$ + $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{PG}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$ + $\overrightarrow{\text{RG}}$ + $\overrightarrow{\text{GS}}$

= $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{PG}}$ + $\overrightarrow{\text{RG}}$ + $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$ + $\overrightarrow{\text{GS}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Mà $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{GP}}$ + $\overrightarrow{\text{GR}}$ = $\overrightarrow{0}$ ⇒ – ( $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{GP}}$ + $\overrightarrow{\text{GR}}$) = $\overrightarrow{0}$ ⇒ $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{PG}}$ + $\overrightarrow{\text{RG}}$= $\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$ + $\overrightarrow{\text{GS}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Suy ra G là trọng tâm của tam giác NQS.

Như vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.