Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = -x + 4y

Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 2

Bài 2.22 trang 26 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = -x + 4y với (x; y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

A. -2.

B. 3.

C. 11.

D. -4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Đường thẳng d₁: x = 1 là đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm có hoành độ bằng 1.

Chọn điểm I(1,5; 1) $\notin$ d₁ và thay vào biểu thức x ta được 1,5 > 1.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 1 là nửa mặt phẳng bờ d₁ có chứa điểm I(1,5; 1).

• Đường thẳng d₂: x = 2 là đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm có hoành độ bằng 2.

Chọn điểm I(1,5; 1) $\notin$ d₂ và thay vào biểu thức x ta được 1,5 < 2.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 2 là nửa mặt phẳng bờ d₂ có chứa điểm I(1,5; 1).

• Đường thẳng d₃: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.

Chọn điểm I(1,5; 1) $\notin$ d₃ và thay vào biểu thức y ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₃ có chứa điểm I(1,5; 1).

• Đường thẳng d₄: y = 3 là đường thẳng song song với trục Ox và đi qua điểm có tung độ bằng 3.

Chọn điểm I(1,5; 1) $\notin$ d₃ và thay vào biểu thức y ta được 1 < 3.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 3 là nửa mặt phẳng bờ d₄ có chứa điểm I(1,5; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác với các đỉnh (1; 0), (1; 3), (2; 3) và (2; 0).

Ta có:

F(1; 0) = -1 + 4 . 0 = -1;

F(1; 3) = -1 + 4 . 3 = 11;

F(2; 3) = -2 + 4 . 3 = 10;

F(2; 0) = -2 + 4 . 0 = -2.

Do đó giá trị F(x; y) nhỏ nhất bằng -2 khi x = 2; y = 0.

Vậy chọn phương án A.