Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x – y + 5 = 0

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x – y + 5 = 0. Tìm tất cả các vectơ pháp tuyến có độ dài của đường thẳng ∆.

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 19: Phương trình đường thẳng

Bài 7.4 trang 31 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x – y + 5 = 0. Tìm tất cả các vectơ pháp tuyến có độ dài $2\sqrt{5}$ của đường thẳng ∆.

Lời giải:

Dựa vào phương trình tổng quát của đường thẳng ∆: 2x – y + 5 = 0. Đường thẳng ∆ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(2;-1)$ nên các vectơ pháp tuyến của ∆ có dạng là $\overrightarrow{n\text{'}}=(2t;-t)$. Theo giả thiết ta có:

⇔ 4t² + t² = 20

⇔ 5t² = 20

⇔ t² = 4

⇔ t = ±2

Với t = 2, ta được vectơ pháp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $\overrightarrow{n_1\text{'}}$ = (4; –2)

Với t = – 2, ta được vectơ pháp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $\overrightarrow{n_2\text{'}}$ = (–4; 2).

Vậy có hai vectơ pháp tuyến thỏa mãn là $\overrightarrow{n_1\text{'}}$ = (4; –2) và $\overrightarrow{n_2\text{'}}$ = (–4; 2).