Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có A(–1; 0) và B(1; 2)

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có A(–1; 0) và B(1; 2).

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 19: Phương trình đường thẳng

Bài 7.8 trang 32 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có A(–1; 0) và B(1; 2).

a) Lập phương trình đường thẳng BC.

b) Tìm toạ độ của điểm C biết rằng hoành độ của điểm C là số dương.

Lời giải:

a)

Do ABCD là hình vuông nên AB và BC vuông góc với nhau tại B.

Do đó, đường thẳng BC nhận vectơ $\overrightarrow{AB}$ = (1 – (–1); 2 – 0) = (2; 2) làm vectơ pháp tuyến.

Chọn điểm B(1; 2) thuộc đường thẳng BC. Phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:

2(x – 1) + 2(y – 2) = 0

⇔ 2x + 2y – 2 – 4 = 0

⇔ 2x + 2y – 6 = 0

⇔ x + y – 3 = 0.

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng BC: x + y – 3 = 0.

b)

Từ phương trình đường thẳng BC là: x + y – 3 = 0 ta có:

y = 3 – x

Điểm C thuộc đường thẳng BC nên tọa độ của nó có dạng: (t; 3 – t)

$\overrightarrow{BC}$ = (t – 1; 3 – t – 2) = (t – 1; 1 – t)

$BC=\sqrt{{(t-1)}^2+{(1-t)}^2}$

$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$

Do ABCD là hình vuông nên ta có:

BC = AB

⇔ (t – 1)² + (1 – t)² = ($2\sqrt{2}$)²

⇔ t² – 2t + 1 + 1 – 2t + t² = 8

⇔ 2t² – 4t – 6 = 0

⇔ t = 3 hay t = –1

Với t = 3, ta có: C (3; 0)

Với t = –1, ta có: C (–1; 4)

Mà hoành độ của điểm C là số dương nên C(3; 0) thỏa mãn yêu cầu đề bài.