Cho tứ diện đều ABCD M là trung điểm của cạnh BC Tính góc giữa AB và DM

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa AB và DM.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 50 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa AB và DM.

Lời giải:

Cho N là trung điểm của cạnh AC.

$\Rightarrow$ MN là đường trung trực của ∆ABC.

$\Rightarrow$ MN // AB $\iff$ (AB, DM) = (MN, DM) = $\widehat{DMN}$ .

Lại có: ∆BCD và ∆ACD là các tam giác đều (theo giả thiết).

Giả sử ABCD là tứ diện đều cạnh a.

$\Rightarrow$ DM = DN = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ ; MN = $\frac{AB}{2}$  = $\frac{a}{2}$.

Áp dụng định lý hàm cos trong ∆DMN, ta có:

$\cos \widehat{DMN}=\frac{D{M}^2+M{N}^2-D{N}^2}{2.DM.MN}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Do đó (AB, DM) = $\widehat{DMN}$  ≈ 73,22°.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc hay khác:

• Bài 2 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy là hình thoi cạnh a, SA = $a\sqrt{3}$, SA $\perp$ AC, SA $\perp$ BC, $\widehat{BAD}$ = 120°. Gọi M, N lần lượt ....

• Bài 3 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC. a) Chứng minh đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó. ....

• Bài 4 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm của ....

• Bài 5 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh hai đường thẳng ....