Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có sin A + sin B + sin C = 4sos A/2 cos B/2 cos C/2

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác - Kết nối tri thức

Bài 1.15 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

sin A + sin B + sin C = $4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ .

Lời giải:

$V T = \sin A + \sin B + \sin C = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$ .

Mặt khác, trong tam giác ABC, ta có A + B + C = π nên $\frac{A + B}{2} = \frac{π}{2} - \frac{C}{2}$ .

Từ đó suy ra: $\sin \frac{A + B}{2} = \cos \frac{C}{2}, \sin \frac{C}{2} = \cos \frac{A + B}{2}$ .

Vậy $V T = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$

$= 2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A - B}{2} + 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{C}{2}$

$= 2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A - B}{2} + \cos \frac{A + B}{2})$

$= 2 \cos \frac{C}{2} .2 \cos \frac{\frac{A - B}{2} + \frac{A + B}{2}}{2} \cos \frac{\frac{A - B}{2} - \frac{A + B}{2}}{2}$

$= 4 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2} \cos (- \frac{B}{2})$

$= 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = V P$ (điều phải chứng minh).

Lời giải SBT Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác hay khác: