Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có sin A + sin B + sin C = 4sos A/2 cos B/2 cos C/2

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác - Kết nối tri thức

Bài 1.15 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

sin A + sin B + sin C = $4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$ .

Lời giải:

$VT=\sin A+\sin B+\sin C=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$.

Mặt khác, trong tam giác ABC, ta có A + B + C = π nên $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$ .

Từ đó suy ra: $\sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2},\sin \frac{C}{2}=\cos \frac{A+B}{2}$ .

Vậy $VT=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$

$=2\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{C}{2}$

$=2\cos \frac{C}{2}\left(\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2}\right)$

$=2\cos \frac{C}{2}.2\cos \frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\cos \frac{\frac{A-B}{2}-\frac{A+B}{2}}{2}$

$=4\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}\cos \left(-\frac{B}{2}\right)$

$=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}=VP$ (điều phải chứng minh).

Lời giải SBT Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác hay khác:

• Bài 1.10 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc 105°. ....

• Bài 1.11 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos 2x = $-\frac{4}{5}$  với $\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}$ . Tính sin x, cos x, $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$, $\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ ....

• Bài 1.12 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau ${\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2a=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4a$ ....

• Bài 1.13 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $A=\sin \frac{\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9}$ ; ....

• Bài 1.14 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng: a) $\cos a-\sin a=\sqrt{2}\cos \left(a+\frac{\pi }{4}\right)$; ....