Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng

Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục - Kết nối tri thức

Bài 5.25 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:

a) $x^{2} = \sqrt{x + 1}$ , trong khoảng (1; 2).

b) cos x = x, trong khoảng (0; 1).

Lời giải:

a) Xét hàm số $f (x) = x^{2} - \sqrt{x + 1}$ xác định trên [– 1; +∞).

Do đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 2].

Mà f(1) = $1 - \sqrt{1 + 1} = 1 - \sqrt{2}$ < 0 và f(2) = $2^{2} - \sqrt{2 + 1} = 4 - \sqrt{3} > 0$

Suy ra f(1) . f(2) < 0.

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm c ∈ (1; 2) sao cho f(c) = 0.

Tức là f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).

Vậy phương trình $x^{2} = \sqrt{x + 1}$ có nghiệm trong khoảng (1; 2).

b) Xét hàm số g(x) = cos x – x xác định trên ℝ.

Do đó hàm số g(x) liên tục trên đoạn [0; 1].

Mà g(0) = cos 0 – 0 = 1 > 0 và g(1) = cos 1 – 1 < 0.

Suy ra g(0) . g(1) < 0.

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm c ∈ (0; 1) sao cho g(c) = 0.

Tức là g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Vậy phương trình cos x = x có nghiệm trong khoảng (0; 1).

Lời giải SBT Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục hay khác: