Bài 5.3 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1

Cho với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b| < 1. Tính .

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số - Kết nối tri thức

Bài 5.3 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $u_n=\frac{1+a+a^2+\mathrm{...}+a^n}{1+b+b^2+\mathrm{...}+b^n}$ với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b| < 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ .

Lời giải:

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, ta có:

$u_n=\frac{1+a+a^2+\mathrm{...}+a^n}{1+b+b^2+\mathrm{...}+b^n}=\frac{\frac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\frac{1-b^{n+1}}{1-b}}=\frac{1-b}{1-a}.\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}$.

Do đó,$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1-b}{1-a}.\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}\right)=\frac{1-b}{1-a}$(do |a| < 1, |b| < 1).

Lời giải SBT Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số hay khác:

• Bài 5.1 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau: ....

• Bài 5.2 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau: ....

• Bài 5.4 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+3+5+\mathrm{...}+\left(2n-1\right)}{n^2+2n}$....

• Bài 5.5 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Tính tổng $S=-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{5^2}+\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n\frac{1}{5^{n-1}}$ + … ....

• Bài 5.6 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: ....

• Bài 5.7 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{\cos n}{n^2}$. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$. ....

• Bài 5.8 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác A1B1C1 có diện tích là 3 (đơn vị diện tích) ....

• Bài 5.9 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với u₁ = 2, $u_{n+1}=u_n+\frac{2}{3^n}$, n ≥ 1. Đặt v_n = u_{n + 1} – u_n ....

• Bài 5.10 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) có tính chất $\left|u_n-\frac{n}{n+1}\right|\le \frac{1}{n^2}$. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$. ....