Cho dãy số (un) với u1 = 2 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1

Cho dãy số (u) với u = 2, , n ≥ 1. Đặt v = u – u.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số - Kết nối tri thức

Bài 5.9 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với u₁ = 2, $u_{n + 1} = u_{n} + \frac{2}{3^{n}}$ , n ≥ 1. Đặt v_n = u_{n + 1} – u_n.

a) Tính v₁ + v₂ + ... + v_n theo n.

b) Tính u_n theo n.

c) Tính $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ .

Lời giải:

a) Ta có v_n = u_{n + 1} – u_n = $(u_{n} + \frac{2}{3^{n}}) - u_{n} = \frac{2}{3^{n}}$ .

Do đó, v₁ + v₂ + ... + v_n = $\frac{2}{3} + \frac{2}{3^{2}} + ... + \frac{2}{3^{n}} = 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}})$

$= 2. \frac{1 - \frac{1}{3^{n + 1}}}{1 - \frac{1}{3}} = 3 (1 - \frac{1}{3^{n + 1}})$ .

b) Ta có v₁ + v₂ + ... + v_n = (u₂ – u₁) + (u₃ – u₂) + ... + (u_{n + 1} – u_n)

= u_{n +}₁ – u₁ = $(u_{n} + \frac{2}{3^{n}}) - 2 = u_{n} + \frac{2}{3^{n}} - 2$ .

Mà theo câu a có v₁ + v₂ + ... + v_n= $3 (1 - \frac{1}{3^{n + 1}})$ .

Do đó, $u_{n} + \frac{2}{3^{n}} - 2 = 3 (1 - \frac{1}{3^{n + 1}})$ . Từ đó suy ra $u_{n} = 5 - \frac{1}{3^{n - 1}}$ .

c) Ta có $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \lim_{n \to + \infty} (5 - \frac{1}{3^{n - 1}}) = \lim_{n \to + \infty} (5 - {(\frac{1}{3})}^{n - 1}) = 5$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số hay khác: