Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và SC = a . Gọi H là trung điểm của cạnh AB.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 7 - Kết nối tri thức

Bài 7.51 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và SC = a $\sqrt{2}$ . Gọi H là trung điểm của cạnh AB.

a) Chứng minh rằng SH $⊥$ (ABCD).

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

c) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều

a) ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = CD = DA = a.

Do tam giác SAB đều cạnh a và H là trung điểm của AB nên SH $⊥$ AB và SH = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ ; AH = BH = $\frac{A B}{2} = \frac{a}{2}$ .

Xét tam giác BHC vuông tại B có HC = $\sqrt{B C^{2} + B H^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Có $S C^{2} = {(a \sqrt{2})}^{2} = 2 a^{2}$ ; $S H^{2} + H C^{2} = {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2} = 2 a^{2}$ .

Suy ra SC² = SH² + HC². Do đó tam giác SHC vuông tại H hay SH $⊥$ HC mà SH $⊥$ AB nên SH $⊥$ (ABCD).

b) Ta có $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S H = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

c) Vì H là trung điểm của AB nên d(A, (SBD)) = 2 . d(H, (SBD)).

Kẻ HK $⊥$ BD tại K, HQ $⊥$ SK tại Q.

Ta có SH $⊥$ (ABCD) nên SH $⊥$ BD mà HK $⊥$ BD nên BD $⊥$ (SHK), suy ra BD $⊥$ HQ.

Vì BD $⊥$ HQ và HQ $⊥$ SK nên HQ $⊥$ (SBD), suy ra d(H, (SBD)) = HQ.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC và BD, suy ra AO = $\frac{A C}{2}$ .

Xét tam giác ABO có HK là đường trung bình nên HK = $\frac{A O}{2} = \frac{A C}{4} = \frac{a \sqrt{2}}{4}$ .

Xét tam giác SHK vuông tại H, HQ là đường cao, ta có

$\frac{1}{H Q^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H K^{2}}$ $= \frac{4}{3 a^{2}} + \frac{16}{2 a^{2}} = \frac{28}{3 a^{2}}$ $\Rightarrow H Q = \frac{a \sqrt{21}}{14}$ .

Vậy d(A,(SBD)) = 2HQ = $\frac{a \sqrt{21}}{7}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯