Cho hai đa thức: F(x) = x^4 + x^3 – 3x^2 + 2x – 9 và G(x) = – x^4 + 2x^2 – x + 8

Cho hai đa thức:

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 3: Phép cộng, phép trừ đa thức một biến

Bài 27 trang 46 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho hai đa thức:

F(x) = x⁴ + x³ – 3x² + 2x – 9 và G(x) = – x⁴ + 2x² – x + 8.

a) Tìm đa thức H(x) sao cho H(x) = F(x) + G(x).

b) Tìm bậc của đa thức H(x).

c) Kiểm tra xem x = 0, x = 1, x = –1 có là nghiệm của đa thức H(x) hay không.

d) Tìm đa thức K(x) sao cho H(x) – K(x) = $\frac{1}{2}$x².

Lời giải:

a) Ta có:

H(x) = F(x) + G(x).

= (x⁴ + x³ – 3x² + 2x – 9) + (– x⁴ + 2x² – x + 8)

= x⁴ + x³ – 3x² + 2x – 9 – x⁴ + 2x² – x + 8

= (x⁴ – x⁴) + x³ + (– 3x² + 2x²) + (2x – x) + (– 9 + 8)

= x³ – x² + x – 1.

Vậy H(x) = x³ – x² + x – 1.

b) Đa thức H(x) = x³ – x² + x – 1 có bậc là 3 do số mũ cao nhất của biến x là 3.

c) Xét đa thức H(x) = x³ – x² + x – 1.

• Thay x = 0 vào đa thức H(x) ta được:

H(0) = 0³ – 0² + 0 – 1 = –1 ≠ 0.

Do đó x = 0 không là nghiệm của đa thức H(x).

• Thay x = 1 vào đa thức H(x) ta được:

H(1) = 1³ – 1² + 1 – 1 = 0.

Do đó x = 1 là nghiệm của đa thức H(x).

• Thay x = –1 vào đa thức H(x) ta được:

H(–1) = (–1)³ – (–1)² + (–1) – 1 = –4 ≠ 0.

Do đó x = –1 không là nghiệm của đa thức H(x).

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức H(x) và x = 0, x = –1 không là nghiệm của đa thức H(x).

d) Ta có: H(x) – K(x) = $\frac{1}{2}$x².

Suy ra K(x) = H(x) – $\frac{1}{2}$x².

Hay K(x) = x³ – x² + x – 1 – $\frac{1}{2}$x².

= x³ + (– x² – $\frac{1}{2}$x²) + x – 1

= x³ – $\frac{3}{2}$x² + x – 1.

Vậy K(x) = x³ – $\frac{3}{2}$x² + x – 1.