Cho tam giác ABC cân tại A có H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC

Cho tam giác ABC cân tại A có H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC, lấy điểm M nằm giữa A và H. Chứng minh:

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

Bài 53 trang 85 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC, lấy điểm M nằm giữa A và H. Chứng minh:

a) BH = CH;

b) MB = MC;

c) MA < AC.

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Xét ∆AHB và ∆AHC có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90°\right)$,

BA = AC (chứng minh trên),

AH là cạnh chung

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).

Vậy BH = CH.

b) Vì ∆ABH = ∆ACH (chứng minh câu a)

Suy ra $\widehat{HAB}=\widehat{HAC}$ (hai góc tương ứng).

Xét ∆AMB và ∆AMC có:

BA = AC (chứng minh câu a),

$\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (do $\widehat{HAB}=\widehat{HAC}$),

AM là cạnh chung

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c).

Suy ra BM = CM (hai cạnh tương ứng).

Vậy BM = CM.

c) Vì $\widehat{AMC}$ là góc ngoài của tam giác CMH tại đỉnh M

Nên $\widehat{AMC}=\widehat{MHC}+\widehat{MCH}$

Mà $\widehat{MHC}=90°$ nên $\widehat{AMC}$ là góc tù

Xét tam giác AMC có $\widehat{AMC}$ là góc tù

Nên MC < AC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất).

Vậy MC < AC.