Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D

Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh độ dài AD và DC.

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

Bài 57 trang 86 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh độ dài AD và DC.

Lời giải:

Kẻ DH ⊥ BC.

Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên ${\hat{B}}_{1} = {\hat{B}}_{2}$ .

Xét ∆DAB và ∆DHB có:

$\hat{B A D} = \hat{B H D} (= 90 °)$ ,

BD là cạnh chung,

${\hat{B}}_{1} = {\hat{B}}_{2}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆DAB = ∆DHB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AD = HD (hai cạnh tương ứng) (1)

Vì ∆DHC vuông tại H nên HD < DC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD < DC.

Vậy AD < DC.