Cho tam giác ABC đều và có G là trọng tâm. Chứng minh GA = GB = GC

Cho tam giác ABC đều và có G là trọng tâm.

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 73 trang 90 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC đều và có G là trọng tâm.

a) Chứng minh GA = GB = GC.

b) Trên tia AG lấy điểm D sao cho GD = GA. Chứng minh tam giác BGD là tam giác đều.

Lời giải:

a) • Do tam giác ABC đều nên AB = BC = AC.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB.

Khi đó AN = NB = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$BC = BM = MC.

Xét ∆ABM và ∆CBN có:

AB = BC (giả thiết),

$\widehat{ABC}$ là góc chung,

BM = BN (chứng minh trên)

Do đó ∆ABM = ∆CBN (c.c.c).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng).

• Vì G là trọng tâm tam giác ABC

Nên AG = $\frac{2}{3}$AM và CG = $\frac{2}{3}$ CN (tính chất trọng tâm của tam giác).

Mà AM = CN.

Suy ra GA = GC.

Chứng minh tương tự ta có GA = GB.

Do đó GA = GB = GC.

Vậy GA = GB = GC.

b) Ta có GA = GB (theo câu a) và GA = GD (giả thiết).

Nên GD = GB (1)

Ta có G là trọng tam giác ABC nên GM = $\frac{1}{2}$GA.

Mà GA = GD nên GM = $\frac{1}{2}$GD.

Do đó GM = MD = $\frac{1}{2}$GD.

Xét ∆GMC và ∆DMB có:

MB = MC (chứng minh câu a),

$\widehat{GMC}=\widehat{DMB}$ (hai góc đối đỉnh),

MG = MD (chứng minh trên).

Do đó ∆GMC = ∆DMB (c.g.c)

Suy ra GC = DB (hai cạnh tương ứng).

Lại có GC = GB (theo câu a)

Nên GB = DB (2)

Từ (1) và (2) suy ra GD = GB = DB.

Do đó tam giác BGD là tam giác đều.

Vậy tam giác BGD là tam giác đều.