X

Giải SBT Toán 7 Cánh diều

Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm


Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DG.

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 77 trang 90 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DG.

a) Chứng minh BG = GC = CE = BE.

b) Chứng minh ∆ABE = ∆ACE.

c) Nếu CG = 12AE thì tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm

a) Xét tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (hai cạnh bên).

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

DB = DC (do D là trung điểm của BC),

AD là cạnh chung

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c)

Suy ra ADB^=ADC^ (hai góc tương ứng).

ADB^+ADC^=180° (hai góc kề bù)

Nên ADB^=ADC^=180°2=90°

Suy ra AD vuông góc với BC.

Mặt khác D là trung điểm của BC

Do đó AD là đường trưng trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra GB = GC (1)

Lại có điểm E nằm trên đường thẳng AD nên E cũng nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó EB = EC (2)

Xét ∆BGD và ∆BED có:

BDG^=BDE^=90°,

BG là cạnh chung,

DG = DE (giả thiết)

Do đó ∆BGD = ∆BED (hai cạnh góc vuông)

Suy ra BG = BE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BG = GC = CE = BE.

Vậy BG = GC = CE = BE.

b) Xét ∆ABE và ∆ACE có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

BE = CE (chứng minh câu a),

AE là cạnh chung

Do đó ∆ABE = ∆ACE (c.c.c).

Vậy ∆ABE = ∆ACE.

c) Ta có GD = ED (giả thiết) nên GD = 12GE

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên GD = 12AG.

Do đó AG = GE hay G là trung điểm của AE nên GE = 12AE.

Mặt khác CG = 12AE

Suy ra GE = GC.

Theo câu a ta lại có GC = EC.

Khi đó GC = GE = EC.

+) Tam giác CGE có GC = GE = EB nên tam giác CGE là tam giác đều

Do đó CGE^=60°

Suy ra:

CGD^+GCD^=90° (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông CGD bằng 90°)

Suy ra GCD^=90°CGD^=90°60°=30°

CGE^+AGC^=180° (hai góc kề bù)

Nên AGC^=180oCGE^=180o60o=120o

Mà GA = GC nên tam giác AGC cân tại G, do đó GAC^=GCA^

Lại có GAC^+GCA^+AGC^=180° (tổng ba góc của tam giác AGC).

Do đó GAC^=GCA^=180°AGC^2=180°120°2=30°

+) Ta có ACB^=ACG^+GCB^ (hai góc kề nhau)

Hay ACB^=30°+30°=60°

Tam giác cân ABC có ACB^=60° nên là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC đều.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: