Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm
Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DG.
Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài 77 trang 90 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DG.
a) Chứng minh BG = GC = CE = BE.
b) Chứng minh ∆ABE = ∆ACE.
c) Nếu CG = AE thì tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?
Lời giải:
a) Xét tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (hai cạnh bên).
Xét ∆ABD và ∆ACD có:
AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
DB = DC (do D là trung điểm của BC),
AD là cạnh chung
Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c)
Suy ra (hai góc tương ứng).
Mà (hai góc kề bù)
Nên
Suy ra AD vuông góc với BC.
Mặt khác D là trung điểm của BC
Do đó AD là đường trưng trực của đoạn thẳng BC.
Suy ra GB = GC (1)
Lại có điểm E nằm trên đường thẳng AD nên E cũng nằm trên đường trung trực của BC.
Do đó EB = EC (2)
Xét ∆BGD và ∆BED có:
,
BG là cạnh chung,
DG = DE (giả thiết)
Do đó ∆BGD = ∆BED (hai cạnh góc vuông)
Suy ra BG = BE (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra BG = GC = CE = BE.
Vậy BG = GC = CE = BE.
b) Xét ∆ABE và ∆ACE có:
AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
BE = CE (chứng minh câu a),
AE là cạnh chung
Do đó ∆ABE = ∆ACE (c.c.c).
Vậy ∆ABE = ∆ACE.
c) Ta có GD = ED (giả thiết) nên GD = GE
Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên GD = AG.
Do đó AG = GE hay G là trung điểm của AE nên GE = AE.
Mặt khác CG = AE
Suy ra GE = GC.
Theo câu a ta lại có GC = EC.
Khi đó GC = GE = EC.
+) Tam giác CGE có GC = GE = EB nên tam giác CGE là tam giác đều
Do đó
Suy ra:
• (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông CGD bằng 90°)
Suy ra
• (hai góc kề bù)
Nên
Mà GA = GC nên tam giác AGC cân tại G, do đó
Lại có (tổng ba góc của tam giác AGC).
Do đó
+) Ta có (hai góc kề nhau)
Hay
Tam giác cân ABC có nên là tam giác đều.
Vậy tam giác ABC đều.