Cho góc xAy và một điểm G trong góc đó. Lấy hai điểm M, N trên tia AG sao cho

Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

Bài 9.14 trang 55 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho góc xAy và một điểm G trong góc đó. Lấy hai điểm M, N trên tia AG sao cho $AM=\frac{3}{2}AG,AN=2AM$. Qua N kẻ đường thẳng song song với đường thẳng chứa tia Ax, nó cắt Ay tại C. Đường thẳng CM cắt Ax tại B.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và NCM bằng nhau, từ đó suy ra AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC vừa dựng được.

Lời giải:

a) Ta có: CN // Ax hay CN // AB

Suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{CNM}$ (Hai góc so le trong)

Lại có: AN = 2AM nên suy ra AM = NM

Xét hai tam giác ABM và NCM có:

$\widehat{BAM}=\widehat{CNM}$ (cmt)

AM = NM (cmt)

$\widehat{AMB}=\widehat{NMC}$ (Hai góc đối bằng nhau)

Suy ra ∆ ABM = ∆ NCM (g.c.g)

b) Ta có: ∆ ABM = ∆ NCM (cmt)

Nên suy ra BM = CM (Hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Xét tam giác ABC có BM = CM nên M là trung điểm của BC.

Nên suy ra AM là đường trung tuyến.

Vì G là điểm thuộc AM có $AM=\frac{3}{2}AG$.

Hay $AG=\frac{2}{3}AM$.

Do đó G là trọng tâm của tam giác ABC (đpcm).