Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm M, N lần lượt trên cạnh AB

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Tứ giác - Cánh diều

Bài 14 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M, N lần lượt trên cạnh AB, AC sao cho AM = AN.

a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân.

b) Xác định vị trí các điểm M, N để BM = MN = NC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm M, N lần lượt trên cạnh AB

a) Do AM = AN nên ∆AMN cân tại A.

Xét ∆AMN cân tại A có: $\hat{A M N} = \hat{A N M} = \frac{180 ° - \hat{A}}{2}$ .

Xét ∆ABC đều hay cũng cân tại A có $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \frac{180 ° - \hat{A}}{2}$ .

Suy ra $\hat{A M N} = \hat{A B C} (= \frac{180 ° - \hat{A}}{2})$

Mà $\hat{A M N}$ và $\hat{A B C}$ nằm ở vị trí đồng vị, suy ra MN // BC.

Tứ giác BMNC có MN // BC và $\hat{M B C} = \hat{N C B}$ nên BMNC là hình thang cân.

b) Do BM = MN nên tam giác MBN cân tại M. Suy ra $\hat{M N B} = \hat{M B N}$ .

Mà MN // BC nên $\hat{M N B} = \hat{N B C}$ (hai góc so le trong), suy ra $\hat{M B N} = \hat{N B C}$ .

Do đó, BN là tia phân giác của góc ABC.

Tương tự, ta cũng chứng minh được CM là tia phân giác của góc ACB.

Dễ thấy, nếu các điểm M, N được xác định sao cho BN, CM lần lượt là tia phân giác của góc ABC, ACB thì BN = MN = CN.

Vậy M là giao điểm của AB và tia phân giác của góc ACB, N là giao điểm của AC và tia phân giác của góc ABC thì BN = MN = CN.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 2: Tứ giác hay khác: