Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N

Cho hình bình hành sao cho .

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Hình bình hành – Hình thoi - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 65 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho $B M = D N = \frac{1}{3} B D$ .

a) Chứng minh ∆AMB = ∆CND.

b) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng AM = 2MI.

d) Gọi K là giao điểm của CN và AD. Chứng minh I và K đối xứng với nhau qua O.

Lời giải:

Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD.

Suy ra $\hat{A B M} = \hat{C D N}$ (hai góc so le trong).

Xét ∆AMB và ∆CND, ta có:

AB = CD (chứng minh trên);

$\hat{A B M} = \hat{C D N}$ (chứng minh trên);

BM = DN (giả thiết).

Suy ra ∆AMB = ∆CND (c.g.c).

b) Ta có ∆AMB = ∆CND (theo câu a), suy ra AM = CN (1)

Ta có: BM + MN = BN và DN + MN = DM; mà BM = DN, suy ra BN = DM.

Xét ∆ABN và ∆CDM, ta có:

AB = CD (chứng minh trên);

$\hat{A B N} = \hat{C D M}$ ;

BN = DM (chứng minh trên)

Suy ra ∆ABN = ∆CDM (c.g.c), suy ra AN = CM (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Vì AMCN là hình bình hành nên OA = OC.

∆ABC có OA = OC, suy ra BO là đường trung tuyến của∆ABC.

ABCD là hình bình hành nên khi O là trung điểm của đường chéo AC thì O cũng là trung điểm của đường chéo BD, khi đó $B O = \frac{1}{2} B D$ .

Ta lại có: $B M = \frac{1}{3} B D$ , suy ra $B M = \frac{2}{3} B O$ .

Do đó M là trọng tâm ∆ABC.

Khi đó $A M = \frac{2}{3} A I, M I = \frac{1}{3} A I$ . Suy ra AM = 2MI.

d) Vì AMCN là hình bình hành nên AM // CN, mà M ∈ AI, N ∈ CK, nên AI // CK. (3)

Hơn nữa, AD // BC, K ∈ AD, I ∈ BC, nên AK // CI (4)

Từ (3), (4) suy ra AKCI là hình bình hành.

Mà O là trung điểm của AC, suy ra O cũng là trung điểm của KI hay I và K đối xứng nhau qua O.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 4: Hình bình hành – Hình thoi hay khác: