Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng mình rằng:

Giải sách bài tập Toán 8 Bài tập cuối chương 8 - Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 75 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng mình rằng:

a) AD . BH = AC . BD.

b) HA . HD = HB . HE = HC . HF.

c) BC² = BE . BH + CF . CH.

Lời giải:

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Ta có $\hat{A H E} = \hat{A C D}$ (cùng phụ với $\hat{C A D}$ ).

Mà $\hat{A H E} = \hat{B H D}$ (đối đỉnh) nên $\hat{A C D} = \hat{B H D}$ .

Xét ∆ADC vuông tại D và ∆BDH vuông tại D có $\hat{A C D} = \hat{B H D}$ .

Do đó ∆ADC ᔕ ∆BDH (g.g).

Suy ra $\frac{A D}{B D} = \frac{A C}{B H}$ . Do đó AD . BH = AC . BD (đpcm).

b) Xét ∆HEA vuông tại E và ∆HDB vuông tại D có $\hat{A H E} = \hat{B H D}$ (đối đỉnh).

Do đó ∆HEA ᔕ ∆HDB (g.g).

Suy ra $\frac{H E}{H D} = \frac{H A}{H B}$ . Do đó HA . HD = HB . HE (1)

Xét ∆HFA vuông tại F và ∆HDC vuông tại D có $\hat{A H F} = \hat{C H D}$ (đối đỉnh).

Do đó ∆HFA ᔕ ∆HDC (g.g).

Suy ra $\frac{H F}{H D} = \frac{H A}{H C}$ . Do đó HA . HD = HC . HF (2)

Từ (1) và (2) suy ra HA . HD = HB . HE = HC . HF (đpcm).

c) Xét ∆BEC vuông tại E và ∆BHD vuông tại D có $\hat{E B C}$ chung.

Do đó ∆BEC ᔕ ∆BHD (g.g).

Suy ra $\frac{B C}{B H} = \frac{B E}{B D}$ . Do đó BC . BD = BE . BH (3)

Xét ∆BCF vuông tại F và ∆HCD vuông tại D có $\hat{F C B}$ chung.

Do đó ∆BCF ᔕ ∆HCD (g.g)

Suy ra $\frac{B C}{H C} = \frac{C F}{D C}$ . Do đó BC . DC = CF . HC. (4)

Từ (3) và (4), suy ra BC . DB + BC . DC = BE . BH + CF . HC.

Do đó BC² = BE . BH + CF . CH (đpcm).

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 8 hay khác: