Chứng minh rằng trang 40 sách bài tập Toán 9 Tập 1

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải sách bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 3 - Kết nối tri thức

Bài 3.30 trang 40 sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Chứng minh rằng $\sqrt{3 + \sqrt{5}} . \sqrt{3 - \sqrt{5}} = 2$ và $\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{10}$

b) Rút gọn các biểu thức sau:

$A = {(\sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{3} + {(\sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{3}$

$B = {(\sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{5} + {(\sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{5}$

Lời giải:

a) Ta có:

$\sqrt{3 + \sqrt{5}} . \sqrt{3 - \sqrt{5}}$

$= \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$

$= \sqrt{3^{2} - 5} = \sqrt{9 - 5}$

$= \sqrt{4}$ = 2.

$\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$

$= \sqrt{{(\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}}$

$= \sqrt{{(\sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{2} + {(\sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2} + 2 \sqrt{3 + \sqrt{5}} . \sqrt{3 - \sqrt{5}}}$

$= \sqrt{3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} + 2.2} = \sqrt{10}$

b) $A = {(\sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{3} + {(\sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{3}$

$= {(\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{3} - 3. \sqrt{3 + \sqrt{5}} . \sqrt{3 - \sqrt{5}} . (\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}})$

$= {(\sqrt{10})}^{3} - 3.2. \sqrt{10}$

$= 10 \sqrt{10} - 6 \sqrt{10} = 4 \sqrt{10}$

Đặt $x = \sqrt{3 + \sqrt{5}}; y = \sqrt{3 - \sqrt{5}}$

Khi đó ta có $x + y = \sqrt{10}$ ; xy = 2; x³ + y³ = $4 \sqrt{10}$

Do đó $B = {(\sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{5} + {(\sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{5}$

= (x²+ y²)(x³+ y³) – x²y³– x³y²

= [(x + y)²– 2xy](x³+ y³) – (xy)²(x + y)

$= [{(\sqrt{10})}^{2} - 2.2] .4 \sqrt{10} - 2^{2} . \sqrt{10}$

$= (10 - 4) .4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10}$

$= 24 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} = 20 \sqrt{10}$

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 3 hay khác:

SBT Toán 9 Kết nối tri thức