Cho điểm A và đường tròn (O; R) sao cho R nhỏ hơn OA nhỏ hơn 3R. Chứng minh rằng đường tròn (A; 2R) cắt đường tròn (O; R)
Cho điểm A và đường tròn (O; R) sao cho R < OA < 3R.
Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải sách bài tập Toán 9 Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn - Kết nối tri thức
Bài 5.24 trang 68 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho điểm A và đường tròn (O; R) sao cho R < OA < 3R.
a) Chứng minh rằng đường tròn (A; 2R) cắt đường tròn (O; R). Gọi B là một trong hai giao điểm của chúng.
b) Gọi C là điểm đối xứng với B qua O. Nối A với C cắt (O) tại D (khác C). Chứng minh rằng AD = DC.
Lời giải:
a) Theo đề bài, R < OA < 3R nên ta có:
R < OA < 3R
2R – R < OA < 2R + R
Suy ra hai đường tròn (A; 2R) và (O; R) cắt nhau.
b) Vì B nằm trên đường tròn (O; R) mà C đối xứng với B qua O nên BC là một đường kính của đường tròn (O; R).
Khi đó C nằm trên đường tròn (O; R) nên BC = 2R.
Vì B nằm trên đường tròn (A; 2R) nên AB là một bán kính của (A; 2R).
Suy ra AB = 2R.
Vì AB = BC = 2R nên tam giác ABC cân tại B.
Xét tam giác BCD có:
DO là trung tuyến (Do O là trung điểm BC)
Suy ra tam giác BCD vuông tại D, do đó BD ⊥ CD hay BD ⊥ AC.
BD ⊥ AC nên BD là đường cao của tam giác cân ABC, suy ra BD cũng đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC hay D là trung điểm của AC.
Do đó AD = DC. (đpcm)
Lời giải SBT Toán 9 Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn hay khác: